1、专题13空间几何体1.由平面图形绕某一条直线旋转得到的旋转体常见类型(1)矩形以一条边为轴旋转得到圆柱体.(2)直角三角形绕一条直角边旋转得到圆锥体.(3)直角三角形绕斜边旋转得到两个同底的圆锥体.(4)直角三角形绕经过一个锐角的顶点且平行于直角边的直线旋转得到圆柱体减去一个圆锥体.(5)直角梯形绕直角腰旋转得到圆台.2.体积问题的解题策略(1)割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.(2)等积法:等积法的前提是几何体的体积通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何体的高.1.计算旋转体侧面积的方法(1)计算旋转体的侧面积时,将侧面展开化为平面图
2、形,“化曲为直”来解决.(2)熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.2.空间几何体求表面积应注意的问题(1)求组合体的表面积,要减去接触面面积;(2)求规则几何体切割得到的几何体的表面积,在原几何体表面积减去切去面积的基础上加上切割面的面积.(3)求规则几何体的表面积时,重点是利用每个面中的垂直关系求各面面积,或者是用正弦定理求解.1.混淆三视图中实线与虚线,从而画不出正确的几何体.【案例】T5根据题意,半圆柱挖去一个半圆锥,虚线为半圆锥的三视图.2.求组合体的表面积,容易将接触面的面积忽略.【案例】T6该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体.注意不要忽略相接部分的面
3、积.3.不能通过三视图还原出空间几何体的直观图,从而导致错误.【案例】T8由于缺乏空间想象力,不能还原出空间几何体,从而无法正常作答.考向一空间几何体的表面积【典例】(2020全国卷)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+4B.4+4C.6+2D.4+2考向二空间几何体中的数学文化【典例】(2019全国卷)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点
4、都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有_个面,其棱长为_.1.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆,则圆锥的体积是()A.B.C. D.2.若某正四棱台的上、下底面边长分别为3,9,侧棱长是6,则它的表面积为()A.90+72B.90+27C.90+72D.90+273.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍(ch mng)”的五面体(如图),四边形ABCD为矩形,棱EFAB.若此几何体中,AB=6,EF=2,ADE和BCF都是边长为4的等边三角形,则此几何体的体积为()A. B.C. D.4.在日常生活中,石子是我们经常见到的材料.现
5、有一棱长均为3的正四棱锥S-ABCD石料的顶角和底面一个角损坏,某雕刻师计划用一平行于底面ABCD的截面截四棱锥分别交SA,SB,SC,SD于点E,F,G,H,做出一个体积最大的新的四棱锥O-EFGH,O为底面ABCD的中心,则新四棱锥O-EFGH的表面积为()A.4+2B.C. D.4+25.如图是由一个实体的半圆柱从上底面向下挖去一部分后得到的几何体的三视图,则该几何体的体积为()A.B.C.D.6.某几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为3+2,则它的表面积是()A.+2B.+2C.+D.+7.“王莽方斗”铸造于王莽始建国元年(公元9年),有短柄,上下边缘刻有篆书铭文,外壁漆画黍、麦
6、、豆、禾和麻纹,如图1所示.因其少见,故为研究西汉量器的重要物证.图2是“王莽方斗”模型的三视图,则该模型的容积为()A.213 B.162C.178 D.1938.已知一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个边长为2的正方形,则该几何体的表面积为()A. B.20C.20+ D.20+9.中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代,其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器,如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高
7、度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为()A.2 cmB. cm C. cm D. cm10.北方的冬天户外冰天雪地,若水管裸露在外,则管内的水就会结冰从而冻裂水管,给用户生活带来不便.每年冬天来临前,工作人员就会给裸露在外的水管“保暖”:在水管外面包裹保温带,用一条保温带盘旋而上一次包裹到位.某工作人员采用四层包裹法(除水管两端外包裹水管的保温带都是四层).如图1所示是相邻四层保温带的下边缘轮廓线,相邻两条轮廓线的间距是带宽的四分之一.设水管的直径与保温带的宽度都为4 cm.在图2水管的侧面展开图中,此保温带的轮廓线与水管母
8、线所成的角的余弦值是(保温带厚度忽略不计)()A. B. C. D.11.已知四面体各棱的长均为1,则这个四面体的表面积为_.12.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h也相等,则等于_.13.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别为AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1V2=_.14.如图所示,有一圆锥形粮堆,母线与底面直径构成边长为6 m的正三角形ABC,粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时,小猫正在B处,它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠,则小猫所
9、经过的最短路程为_.专题13空间几何体/真题再研析提升审题力/考向一C根据三视图特征,在正方体中截取出符合题意的立体图形,根据立体图形可得:SABC=SADC=SCDB=22=2,根据勾股定理可得:AB=AD=DB=2,所以ADB是边长为2的等边三角形,根据三角形面积公式可得:SADB=ABADsin 60=2,所以该几何体的表面积是:32+2=6+2.考向二【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:,则有8=360,解得=45,即设棱长为x,可得2+x=1,解得x=-1.答案:26-1/高考演兵场检验考试力/1.B设圆锥底面圆的半
10、径为r,高为h,如图所示:由题知:2r=22,解得r=1.所以h=.故圆锥的体积V=12=.2.A由题意可得,上底面的面积为9,下底面的面积为81,侧面的高为=3,所以该正四棱台的表面积为9+81+4=90+72.3.C过F作FO平面ABCD,垂足为O,取BC的中点P,连接PF,过F作FQAB,垂足为Q,连接OQ,延长QO交CD于点G,连接FG.因为ADE和BCF都是边长为2的等边三角形,所以OP=(AB-EF)=2,PF=2,OQ=BC=2,因为FO平面ABCD,OP平面ABCD,所以FOOP,所以OF=2,如图,把此“刍甍”分为两侧各一个四棱锥,中间一个三棱柱.因为FQAB,FOAB,FQ
11、,FO平面FGQ,FQFO=F,所以AB平面FGQ,因为GQ平面FGQ,所以ABGQ,所以四边形BCGQ是矩形.V=2422+422=.4.A因为平面EFGH与平面ABCD平行,所以四边形EFGH与四边形ABCD相似,所以四边形EFGH为正方形,设=x(0x1),所以=x2,易知四棱锥O-EFGH与四棱锥S-ABCD的高的比为1,VO-EFGH=x2(1-x)VS-ABCD,设f(x)=x2(1-x),(0x1),f(x)=2x-3x2,则当0x0,当x1时,f(x)0,所以x=时,f取得最大值.此时EF=2,OG=,所以四棱锥O-EFGH的表面积为22+42=4+2.5.C根据题意,半圆柱挖
12、去一个半圆锥,半圆柱的体积为2=,半圆锥的体积为2=,所以该几何体的体积为-=.6.A由三视图可知,该几何体是由四分之三圆锥和一个三棱锥组成的组合体,其中:V圆锥=a23=a2,V三棱锥=a23=a2,由题意:a2+a2=3+2,所以a=2,据此可知:S底=22+22=3+2,S圆锥侧=2=,S棱锥侧=2=,它的表面积是+2.7.B由三视图知,该几何体容积部分为长方体,且长,宽,高分别为:6,6,4.5,所以其容积为4.566=162.8.C还原几何体得,如图,几何体的表面积为3(22)+2+22+2=20+.9.D由题意可知,开始时,沙漏上部分圆锥中的细沙的高H=8=,底面圆的半径r=4=,
13、故细沙的体积V=r2H=.当细沙漏入下部后,圆锥形沙堆的底面半径为4,设高为H,则42H=,得H=.故此锥形沙堆的高为 cm.10.D过点A作AEDB,垂足为E,其展开图如图所示,由水管直径为4 cm,所以水管的周长为AE=4 cm,设ABE=,又BE=4=1(cm),AB=,所以cos=.11.【解析】由题意知四面体的表面积为S=412sin 60=.答案:12.【解析】由题意知,h2h=h,所以=.答案:13.【解析】因为D,E分别是AB,AC的中点,所以SADESABC=14,又F是AA1的中点,所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍.所以V1V2=.答案:14.【解析】因为ABC为等边三角形,所以BC=6,所以底面圆周长l=23=6,根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长,得:=6,故n=180,则BAC=90,所以BP=3(m),所以小猫所经过的最短路程是3 m.答案:3 m关闭Word文档返回原板块
