1、模块质量检测一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1等差数列an中，a2a816，a41，则a6的值为()A15 B17C22 D642函数f(x)xcos x在x处的切线方程为()A2x4y0 B2xy0C4xy10 D4x2y03设an是等比数列，且a1a2a31，a2a3a42，则a6a7a8()A12 B24C30 D324如图，yf(x)是可导函数，直线l：ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)()A1 B0C2 D45若正项等比数列an满足S313，a2a
2、41，bnlog3 an，则数列bn的前20项和是()A25 B25C150 D1506记Sn为数列an的前n项和，且Sn2an1，则S6的值为()A. B.C. D.7函数f(x)(2x1)ex2x1的极值点的个数为()A0 B1C2 D38已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)13ex解集为()A(1，) B(，1)C(0，) D(，0)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9如图是yf(x)的导函数f(x)的图象，则下列判断正确的是()Af(x)在区间2，1上是增函数Bx1是f
3、(x)的极小值点Cf(x)在区间1,2上是增函数，在区间2,4上是减函数Dx1是f(x)的极大值点10已知Sn是等差数列an的前n项和，且对nN*，an0，下列说法正确的是()Aa1a10a5a6Ba5a6a1a10CSm，S2mSm，S3mS2m(mN*)成等差数列D数列是等差数列11已知数列an的前n项和为S，a11，Sn1Sn2an1，数列的前n项和为Tn，nN*，则下列选项正确的是()A数列an1是等差数列B数列an1是等比数列C数列an的通项公式为an2n1DTn0，对于函数g(x)，下列结论正确的是()A函数g(x)在(1，)上为单调递增函数Bx1是函数g(x)的极小值点C函数g(
4、x)至多有两个零点D当x0时，不等式f(x)ex恒成立三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13设等差数列an的前n项和为Sn，且a48，a12，则S5S3_.14已知函数f(x)exa(x1)，若f(x)有两个零点，则实数a的取值范围是_15已知各项均不相等的数列an满足2an13anan1(nN*，n1)则数列an1an是公比为_的等比数列，若a2，a8，则a1_(第一空2分，第二空3分)16函数f(x)ax2xln x在上单调递增，则实数a的取值范围是_四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满
5、分10分)已知等差数列an的公差d2，且a1a26.(1)求a1及an；(2)若等比数列bn满足b1a1，b2a2，求数列anbn的前n项的和Sn.18(本小题满分12分)函数f(x)xln xax1在点A(1，f(1)处的切线斜率为2.(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间和极值19(本小题满分12分)在a5b42b6，a3a54(b1b4)，b2S45a2b3三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答设an是公比大于0的等比数列，其前n项和为Sn，bn是等差数列已知a11，S3S2a22a1，a4b3b5，_.求an和bn的通项公式20(本小题满分12分)给出以下三个条件：数列
6、an是首项为2，满足Sn14Sn2的数列；数列an是首项为2，满足3Sn22n1(R)的数列；数列an是首项为2，满足3Snan12的数列请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设数列an的前n项和为Sn，an与Sn满足_，记数列bnlog2a1log2a2log2an，cn，求数列cn的前n项和Tn；(注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)21(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)(1)若函数f(x)在x1和x2处取得极值，求a，b的值；(2)在(1)的条件下，当x2,3时，f(x)2c恒成立，求c的取值范围22(本小题满分12分)已知函数f
7、(x)(a3)xaln x，其中aR.(1)函数f(x)在x2处的切线与直线x2y10垂直，求实数a的值；(2)若函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x10.模块质量检测1解析：由等差数列的性质可得2a5a2a816a58公差da5a4817.a6a5d8715.故选A.答案：A2解析：因为f(x)xcos x，所以f(x)1sin x，所以f2，f，所以函数f(x)xcos x在x处的切线方程为y2，即4x2y0.故选D.答案：D3解析：设等比数列an的公比为q，故a2a3a4q(a1a2a3)，又a2a3a42，a1a2a31，q2，a6a7a8q5(a1a2a3)2532，故
8、选D.答案：D4解析：将点(3,1)代入直线ykx2的方程得3k21，得k，所以f(3)k，由于点(3,1)在函数yf(x)的图象上，则f(3)1，对函数g(x)xf(x)求导得g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)130，故选B.答案：B5解析：设正项等比数列an的首项为a1，公比为q，由S313，a2a41，得，解得q，a19.ana1qn19n133n，bnlog3anlog3 33n3n，则数列bn是以2为首项，以1为公差的等差数列，则S20202150.故选C.答案：C6解析：当n1时，S1a12a11a1，当n2时，Sn12an11，由Sn2an1，an2an2an
9、1，数列an为等比数列，S6，故选A.答案：A7解析：因为f(x)(2x1)ex2，设g(x)f(x)g(x)(2x3)ex，所以当x时，g(x)0，f(x)递增；x时，g(x)0，所以f(x)0，故f(x)递增，所以f(x)无极值点故选A.答案：A8解析：构造函数g(x)，则g(x)0，故g(x)在R上为增函数又g(0)3，故f(x)13ex即3，即g(x)g(0)解得x0.故选C.答案：C9解析：在(2，1)上f(x)0，f(x)递减，A错；f(1)0，且当2x1时，f(x)0，1x0，所以x1是f(x)的极小值点，B正确；在1,2上f(x)0，f(x)递增，在2,4上f(x)0，得d0，
10、而a5a6a9a1d20d2，a1a10a9a1da5a6，所以B选项不正确，故选ACD.答案：ACD11解析：由Sn1Sn2an1即为an1Sn1Sn2an1，可化为an112(an1)，由S1a11，可得数列an1是首项为2，公比为2的等比数列，则an12n，即an2n1，又，可得Tn111时，由0，可得f(x)f(x)0，则g(x)0，故yg(x)在(1，)上单调递增，故A正确；当x0，可得f(x)f(x)0，则g(x)0，故yg(x)在(，1)上单调递减，故x1是函数yg(x)的极小值点，故B正确；若g(1)0，则函数yg(x)没有零点，故C正确；因为yg(x)在(，1)上单调递减，所
11、以yg(x)在(，0)上单调递减，由g(0)1，得当x0时，g(x)g(0)，即1，故f(x)ex，故D错误，故选ABC.答案：ABC13解析：由题意，知a48，a12，所以公差d2，所以a5a4d10，所以S5S3a4a581018.答案：1814解析：由题知：f(x)exa，xR.当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，至多有一个零点，不合题意；当a0时，令f(x)0xln a，易知f(x)在(，ln a)单调递减，在(ln ，)单调递增，故f(x)的最小值为f(ln a)aa(ln a1)aln a.f(x)有两个零点，当x时，f(x)，f(ln a)0，解得a1故答案为(1，)答案：(
12、1，)15解析：因为2an13anan1(nN*，n1)，所以2an12ananan1，则数列an1an(nN*)是公比为的等比数列令bnan1an，则数列bn是公比为的等比数列，所以a8a1b1b2b3b7b1.因为b1a2a1a1，a8，所以a1，解得a11.答案：116解析：f(x)2axln x1，若函数f(x)ax2xln x在上单调递增，则f(x)0在上恒成立，则a在上恒成立，令g(x)，x，则g(x)，可以得出0x0，当x1时g(x)0，得xe2，令f(x)0，得0x0，q2，an2n1.设等差数列bn的公差为d，a4b3b5，a5b42b6，解得，bnn，an2n1，bnn.方
13、案二：选条件：设等比数列an的公比为q，a11，S3S2a22a1，q2q20，解得q2或q1，q0，q2，an2n1.设等差数列bn的公差为d，a4b3b5，a3a54(b1b4)，解得，bnn，an2n1，bnn.方案三：选条件，设等比数列an的公比为q，a11，S3S2a22a1，q2q20，解得q2或q1，q0，q2，an2n1.设bn公差为d，a4b3b5，b2S45a2b3，解得bn1(n1)1n.an2n1，bnn.20解析：选，由已知Sn14Sn2()，当n2时，Sn4Sn12()，()()得：an14(SnSn1)4an，即an14an，当n1时，S24S12，由a12，所以
14、2a2422，所以a28，满足a24a1，故an是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an22n1.bnlog2 a1log2 a2log2 anlog2(a1a2an)13(2n1)n2，cn，所以Tnc1c2cn1.选，由已知3Sn22n1()，当n2时，3Sn122n1()，()()得，3an22n122n1322n1，即an22n1，当n1时，a12满足an22n1，故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an22n1.bnlog2 a1log2 a2log2 anlog2(a1a2an)13(2n1)n2，cn，所以Tnc1c2cn1；选，由已知3Snan12 ()，则n2时，3S
15、n1an2 ()，()()得3anan1an，即an14an，当n1时，3a1a22，而a12，得a28，满足a24a1，故an是以2为首项4为公比的等比数列，所以an22n1.bnlog2 a1log2 a2log2 anlog2(a1a2an)13(2n1)n2，cn，所以Tnc1c2cn1.21解析：(1)f(x)x3ax2bxc，f(x)x22axb.又函数f(x)在x1和x2处取得极值，x1和x2是方程x22axb0的两根，解得.经检验得a，b2符合题意，a，b2.(2)由(1)得f(x)x2x2(x1)(x2)，当2x1或2x0，f(x)单调递增；当1x2时，f(x)2c恒成立，c
16、2c，解得c0，故f(x)x(a3)，所以f(2)1，据题意可知(1)()1，解得a2，所以实数a的值为2.(2)因为函数f(x)在定义域上有两个极值点x1，x2，且x1x2，所以f(x)x(a3)0在(0，)上有两个根x1，x2，且x1x2，即x2(a3)xa0在(0，)上有两个不相等的根x1，x2所以，解得0a1，当0a1时，若0xx2，x2(a3)xa0，f(x)0，函数f(x)在(0，x1)和(x1，)上单调递增；若x1xx2,2x22(a3)x2a0，f(x)0，函数f(x)在(x1，x2)上单调递减，故函数f(x)在(0，)上有两个极值点x1，x2，且x1x2，所以，实数a的取值范围是0a1.由可知，x1，x2(0x1x2)是方程x2(a3)xa0的两个不等的实根，所以其中0a1.故f(x1)f(x2)(a3)x1aln x1(a3)x2aln x2x1x2(a3)(x1x2)aln x1x2a(a3)(3a)aln aaln a2a，令g(a)aln a2a，其中0a0，h(a)在(0,1)上单调递增由于h(e3)2e30，所以存在常数t(e3,1)，使得h(t)0，即ln tt30，ln tt3.且当a(0，t)时，h(a)g(a)0，g(a)在(t,1)上单调递增，所以当0a5，所以g(a)5，即g(a)50.故f(x1)f(x2)50得证