1、高考资源网（） 您身边的高考专家2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集(重点)2掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数(重点) 3掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值(重点、难点)1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养2通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.1一元二次方程的定义 形如ax2bxc0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a0.2一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：利用平方根的定义直接
2、开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法(2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法(3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b, c的值代入式子x中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法3一元二次方程根的判别式 式子b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式，通常用表示，即b24ac.当0 时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(
3、a0)没有实数根4一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1x2，x1x2，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比1一元二次方程x2160的解集是()A8,8B4C4 D4,4 D利用直接开平方法解方程，即x2160，x216，解得x14，x24，故选D.2用配方法解方程x28x50，将其化为(xa)2b的形式，正确的是()A(x4)211 B(x4)221C(x8)211 D(x4)211Dx28x50，x28x5，x28x16516，(x4)211，故选D.3用公式法解方程6x85x2时，a，b，c
4、的值分别是()A5、6、8 B5、6、8C5、6、8 D6、5、8 C原方程可化为5x26x80，a5, b6，c8，故选C.4已知一元二次方程2x22x10的两个根为x1，x2，且x1x2，下列结论正确的是()Ax1x21 Bx1x21C|x1|x2| Dxx1D根据题意，得x1x21，x1x2，所以A，B选项错误x1x20，x1x20，x1，x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误x1为一元二次方程2x22x10的根，2x2x110，xx1，D选项正确故选D.一元二次方程的解法角度一直接开平方法【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集：(1)4y2250；(2)3x2x15x.思路
5、点拨可将方程转化为x2p(p0)的形式再两边开平方进行降次，化为一元一次方程解(1)移项，得4y225.两边都除以4，得y2.解得y1，y2.所以原一元二次方程的解集是.(2)移项，合并同类项，得3x215.两边都除以3，得x25.解得x1，x2.所以原一元二次方程的解集是，应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤(1)化为x2p(p0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式.1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)(x1)212；(2)(6x1)2250.解(1)直接开平方，得x12，x121，x221.原一元二次方程的解集是
6、21，21(2)移项，得(6x1)225.开平方，得6x15.x11，x2.原一元二次方程的解集是. 角度二配方法【例2】用配方法求下列方程的解集(1)x24x10；(2)4x28x10.解 (1)x24x10，x24x1，x24x414，(x2)25，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)移项，得4x28x1.二次项系数化为1，得x22x，配方，得x22x1212，即(x1)2.x1.x11，x21，原一元二次方程的解集是.利用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)，先把二次项系数变为1，即方程两边都除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数一半的平方
7、，把方程的一边配方化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后用直接开平方法求解(若另一边为负数，则此方程无实数根).2用配方法求下列方程的解集(1)x232x；(2)2x25x0.解(1)移项，得x22x3.配方，得x22x()23()2，即(x)20.x1x2.原一元二次方程的解集是(2)移项，得2x2x5.二次项系数化为1，得x2x.配方，得x2x.x.x1，x2，原一元二次方程的解集是，.角度三公式法【例3】用公式法求下列方程的解集(1)x24x100；(2)x2x0.思路点拨先化成一元二次方程的一般形式，再求，然后根据求根公式求解解(1)a1，b4，c10，b24ac(4)241108
8、0，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)方程两边都乘以8，得4x24x10.a4，b4，c1，b24ac424410，x，x1x2.原一元二次方程的解集是.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b24ac的值；当b24ac0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后总结写出解集.3用公式法求下列方程的解集(1)x232x；(2)3x26x1.解(1)将方程化为一般形式为x22x30.a1，b2，c3，b24ac(2)241340，原方程没有实数根原一元二次方程的解集是.(2)将方程化为一般形式为3x26x1
9、0，a3，b6，c1，b24ac62431240，x.x1，x2.原一元二次方程的解集是.一元二次方程的根的判别式【例4】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况(1)3x22x10；(2)2x2x10；(3)4xx2x22. 解(1)(2)243(1)160，方程有两个不相等的实数根方程的解集中有两个元素(2)(1)242170，方程没有实数根方程的解集为空集(3)方程整理为x22x10, (2)24110, 方程有两个相等的实数根方程的解集中有一个元素一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac.当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有
10、实数根.4下列一元二次方程中，解集为空集的是()Ax22x0Bx24x10C2x24x30 D3x25x2C利用根的判别式b24ac分别进行判定即可A(2)241040，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B4241(1)200，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C(4)242380，没有实数根，故此选项符合题意；D(5)243210，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意故选C.一元二次方程的根与系数的关系 【例5】设x1，x2是方程2x29x60的两个根，求下列各式的值(1)；(2)xx；(3)(x13)(x23)；(4)x1x2.解由根与系数的关系，得x1x2，x1x23.(
11、1)3；(2)xx(x1x2)22x1x223；(3)(x13)(x23)x1x23(x1x2)9339；(4)(x1x2)2(x1x2)24x1x243，x1x2.利用根与系数的关系求有关代数式的值的一般方法(1)利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2的值；(2)将所求的代数式变形转化为含x1x2，x1x2的代数式的形式；(3)将x1x2，x1x2的值整体代入，求出待求代数式的值5已知，是一元二次方程x2x20的两个实数根，则的值是()A3B1 C1D3B，是方程x2x20的两个实数根，1，2，121，故选B. 与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题【例6】已知关于x的一元二次方程2
12、x2kx30的解集中只有一个元素，则k的值为()A2 BC2或3 D2或3Aa2，bk，c3，b24ack2423k224，方程的解集中只有一个元素，k2240, 解得k2.根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.6若关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，求a的取值范围解关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，(2a1)24a24a10，a.1一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2) 配方法；(3)公式法2一元二次方程根与系数的关系如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2
13、，那么x1x2，x1x2.利用这个关系，可以求一些关于方程两根的代数式的值的问题注意：一元二次方程的根与系数的关系需满足的前提条件是：a0；0.1一元二次方程x290的解集是()A3B3C3,3 D9,9 Cx290，x29，x3，故选C.2一元二次方程x23x的解集是()A0B3 C3D0,3 Dx23x，x23x0，x(x3)0，解得x10，x23，故选D.3一元二次方程4x214x的解集情况是()A为空集 B只有一个元素C有两个元素 D无法确定元素的个数 B原方程可化为4x24x10，(4)24410，方程有两个相等的实数根解集中只有一个元素故选B.4将方程x22x3化为(xm)2n的形式，则m，n分别是_1,4x22x3，配方得x22x14, 即(x1)24，m1，n4.- 11 - 版权所有高考资源网