1、第8课函数的图象和周期性A应知应会1. 已知函数f(x)满足:当x4时,f(x)=;当x4时,f(x)=f(x+1).那么f(2)=.(第2题)2. 已知函数f(x)是定义在(-3,3)上的偶函数,当0x3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式xf(x)0的解集是.3. 方程x2-2x=0的实数根的个数为.4. (2015安徽卷)在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则实数a的值为.5. 写出下列函数的作图过程,然后画出下列函数的草图:(1) y=;(2) y=(x+1)|x-2|;(3) y=2|x+1|.6. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函
2、数,且它的图象关于直线x=1对称.(1) 求证:函数f(x)是以4为周期的周期函数;(2) 若f(x)= (0x1),求当x-5,-4时函数f(x)的解析式.B巩固提升1. 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x+2)=13,那么f(x)的一个周期为.(第2题)2. (2015烟台模块检测)若函数f(x)= 的图象如图所示,则a+b+c=.(第3题)3. (2015北京卷)如图,函数f(x)的图象为折线段ACB,则不等式f(x)log2(x+1)的解集是.4. (2016扬州中学)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x-2)=f(x+2),当x(-1,0)时,f
3、(x)=2x+,那么f(log220)=.5. 定义:若a,b为常数,g(x)满足g(a+x)+g(a-x)=2b,则函数y=g(x)的图象关于点(a,b)成中心对称.已知函数f(x)=-1+.(1) 求证:函数f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称;(2) 当xa-2,a-1时,求证:f(x)-,0.6. 已知函数f(x)=|x|(a-x),aR.(1) 当a=4时,画出函数f(x)的大致图象,并写出其单调增区间;(2) 若函数f(x)在x0,2上是减函数,求实数a的取值范围.第8课函数的图象和周期性A应知应会1. 【解析】f(2)=f(3)=f(4)=.2. (-3,-1)(0,1)【
4、解析】因为偶函数的图象关于y轴对称,所以由图可知当x0的解集为(-3,-1);当x0时,f(x)0的解集是(0,1).所以原不等式的解集为(-3,-1)(0,1).3. 3【解析】在同一平面直角坐标系中作出y1=x2和y2=2x的图象如图所示,因为两函数的图象有3个不同的交点,则方程x2-2x=0的实数根的个数为3.(第3题)4. -【解析】在同一平面直角坐标系中作出y=2a与y=|x-a|-1的大致图象如图所示,由图可知,当2a=-1,a=-时,直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点.(第4题)5. 【解答】(1) y=2+.先作出函数y=的图象,再把函数y=的图象向右平移1
5、个单位长度后得到函数y=的图象,最后把函数y=的图象向上平移2个单位长度后得到函数y=2+的图象,如图(1)所示.(2) y=(x+1)|x-2|=函数的图象如图(2)所示.(3) 首先作出函数y=2x的图象,在y轴右边的保持不变,去掉y轴左边的图象,再把y轴右边的图象对称地翻折到y轴左边,即得函数y=2|x|的图象,最后把函数y=2|x|的图象向左平移1个单位长度后得到函数y=2|x+1|的图象,如图(3)所示.图(1)图(2)图(3)(第5题)6. 【解答】(1) 由函数f(x)的图象关于直线x=1对称,知f(x+1)=f(1-x),即有f(-x)=f(x+2).又函数f(x)是定义在R上
6、的奇函数,则f(-x)=-f(x),故f(x+2)=-f(x),从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函数f(x)是以4为周期的周期函数.(2) 由函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0.当x-1,0)时,-x(0,1,f(x)=-f(-x)=-.故当x-1,0时,f(x)=-.当x-5,-4时,x+4-1,0,f(x)=f(x+4)=-.从而当x-5,-4时,函数f(x)=-.B巩固提升1. 4【解析】由f(x)f(x+2)=13,得f(x+2)=,所以f(x+4)=f(x+2)+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.2. 【解析】由图象可求得直线的方程为y=
7、2x+2.又函数y=logc的图象过点(0,2),将其坐标代入可得c=,所以a+b+c=2+2+=.3. (-1,1【解析】如图,把函数y=log2x的图象向左平移一个单位长度后得到y=log2(x+1)的图象,当x=1时,两图象相交,由图象知不等式的解集为x|-1log220log216,所以4log2205,故0log220-41,即0log21,所以-1log20,故f(log220)=f(log220-4)=f=-f=-f.又因为x(-1,0)时,f(x)=2x+,所以f=+=+=1,所以f(log220)=-1.5. 【解答】(1) 因为f(a+x)+f(a-x)=+-1+=-2,所
8、以函数f(x)的图象关于点(a,-1)成中心对称.(2) 由f(x)=-1+=-1-,得f(x)在(-,a)和(a,+)上均为增函数,所以f(x)在a-2,a-1上单调递增,从而f(x)f(a-2),f(a-1),即f(x).6.【解答】(1) 当a=4时,f(x)=|x|(4-x)=作出函数f(x)的大致图象如图所示.由图象知单调增区间为0,2.(第6题)(2) 方法一:设0x10对任意的0x10,所以ax1+x2对任意的0x1x22都成立,所以a0.方法二:(数形结合方法)当x0,2时,f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-+,若函数f(x)在x0,2上是减函数,则0,所以a0.故实数a的取值范围是(-,0.