1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。52导数的运算52.1基本初等函数的导数必备知识自主学习导思1.如何用导数的定义求基本初等函数的导数？2基本初等函数的导数公式是什么？1.几个常用函数的导数函数f(x)cf(x)xf(x)x2f(x)x3f(x)f(x)导数f(x)0f(x)1f(x)2xf(x)3x2f(x)f(x)等于()A. B1 C0 D【解析】选C.常数的导数等于0.2.基本初等函数的导数公式函数导数函数导数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)ax(a0，且a1)f(x)ax ln af(x
2、)x(Q，且0)f(x)x1f(x)exf(x)exf(x)sin xf(x)cos_xf(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)cos xf(x)sin_xf(x)ln xf(x)(1)函数f(x)ax的导数与函数f(x)ex的导数之间有什么关系？提示：f(x)ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f(x)ex也是f(x)ax ln a当ae时的特殊情况(2)函数f(x)logax与f(x)ln x的导数之间有何关系？提示：f(x)ln x是f(x)logax的一个特例，f(x)ln x的导数也是f(x)logax的导数的特例(3)若f(x)ex，则f(x)ex这种说
3、法正确吗？提示：不正确由导数定义可知f(x)exC(其中C为任意实数)，都有f(x)ex.1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)f(x)0，则f(x)0.( )提示：因为f(x)0是一个常数函数，所以f(x)0.(2)若f(x)ln x，则f(e)1.( )提示：f(x)ln x时，f(x)，所以f(e)1.(3)若(3x)x3x1.( )提示：函数y3x是指数函数，其导数应为(3x)3xln 3.(4)(x4)x4ln 4.( )提示：函数yx4是幂函数，其导数为(x4)4x3.2若函数y10x，则y|x1等于()A. B10 C10ln 10 D【解析】选C.因为y10xln 10，
4、所以y|x110ln 10.3(教材练习改编)曲线f(x)x3在点(1，f(1)处的切线的斜率为_【解析】k 33x(x)23.答案：3关键能力合作学习类型一利用导数公式计算导数(数学抽象、数学运算)1f(x)a3(a0，a1)，则f(2)()A.8 B12 C8ln 3 D0【解析】选D.f(x)a3(a0，a1)是常数函数，所以f(x)0，所以f(2)0.2已知f(x)，则f(1)()A.1 B1 C3 D3【解析】选D.f(x)x3，所以f(x)3x4，所以f(1)3.3(多选)下列结论正确的为()A.yln 2，则yB.y，则y|x3C.y2x，则y2xln 2D.ylog2x，则y【
5、解析】选BCD.由导数的运算公式可知，有yln 2，则y0，所以选项A错误，其它选项均正确运用基本初等函数的导数公式求导的注意事项(1)对于简单的函数，直接套用公式；(2)对于较为复杂，不能直接套用公式的，可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再求导【补偿训练】1.已知f(x)x(Q*)，若f(1)，则等于()A. B C D【解析】选D.因为f(x)x，所以f(x)x1，所以f(1).2函数f(x)sin x，则f(6)_【解析】f(x)cos x，所以f(6)1.答案：1类型二导数公式的应用(数学抽象、数学运算)【典例】求过曲线ysin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程四步内容理解题
6、意条件：曲线ysin x；曲线ysin x上点P结论：求与过这点的切线垂直的直线方程思路探求先求切线的斜率，再求垂线的斜率，最后求出垂线的方程书写表达因为ysin x，所以ycos x，曲线在点P处的切线斜率是：y|xcos ，所以过点P且与过这点的切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.题后反思导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率，相互垂直的直线斜率乘积等于1是解题的关键利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解1(2020全国卷)函数f(x
7、)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()A.y2x1 By2x1C.y2x3 Dy2x1【解析】选B.因为f(x)x42x3，所以f(x)4x36x2，所以f(1)1，f(1)2，因此，所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.2曲线y在点M(3，3)处的切线方程是_【解析】因为y，所以y|x31，所以过点(3，3)的斜率为1的切线方程为y3(x3)，即xy60.答案：xy603水波的半径以0.5 m/s的速度向外扩张，当半径为25 m时，水波面积的膨胀率是_【解析】因为水波的半径扩张速度为0.5 m/s，故水波面积为Sr2(vt)2t2，故水波面积的膨胀率为St.当水波的半径
8、为25 m时，由vt25，解得t50，即可得S5025.答案：25类型三与切线方程有关的问题(数学抽象、数学运算)角度1求切点坐标及参数值【典例】若直线yxb与曲线yex相切于点P，求切点坐标及b的值【思路导引】由切线的斜率即可求出切点坐标；由切点坐标即可求出b的值【解析】设P(x0，y0)，由题意可知y|xx0ex0，所以ex01，即x00，所以点P(0，1).由点P(0，1)在直线yxb上可知b1.若点P是曲线yex上的任意一点，求点P到直线yx的最小距离【解析】如图，当曲线yex在点P(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点P到直线yx的距离最近，则曲线yex在点P(x0，y0)处的切
9、线斜率为1，又y(ex)ex，所以ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0，1).利用点到直线的距离公式得最小距离为.角度2与切线有关的简单应用【典例】曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_【解析】因为y(ex)ex，所以ke2，所以曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1，所以切线与坐标轴所围成的三角形的面积为S1|e2|e2.答案：e2与切线有关问题的解题策略1明确切点，若切点为(x0，y0)，则切线的斜率kf(x0).2切线方程一般可用点斜式求解3结合题设条件得出所求的代数式或方程1在曲线
10、f(x)上切线的倾斜角为的点的坐标为()A.(1，1) B(1，1)C.(1，1) D(1，1)或(1，1)【解析】选D.切线的斜率ktan 1，设切点为(x0，y0)，则f(x0)1，又f(x)，所以1，所以x01或1，所以切点坐标为(1，1)或(1，1).2已知函数yf(x)的图象在M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_【解析】依题意知，f(1)12，f(1)，所以f(1)f(1)3.答案：33直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b_【解析】设切点坐标为(x0，y0)，则y0ln x0.因为y(ln x)，由题意知，所以x02，y0ln 2.由ln 22
11、b，得bln 21.答案：ln 21课堂检测素养达标1若f(x)cos ，则f(x)为()Asin Bsin C0 Dcos 【解析】选C.f(x)cos ，故f(x)0.2函数ymx2mn的导数为y4x3，则()Am1，n2 Bm1，n2Cm1，n2 Dm1，n2【解析】选D.因为ymx2mn，所以ym(2mn)x2mn1，又y4x3，所以所以即3(多选)下列选项中是正确结论的有()A(sin x)cos x B(x)xC(log3x) D(ln x)【解析】选AD.对于选项A，因为(sin x)cos x，故正确；对于选项B，因为(x)x，故错误；对于选项C，因为(log3x)，故错误；对于选项D，因为(ln x)，故正确4(教材二次开发：练习改编)已知f(x)x2，g(x)ln x，若f(x)g(x)1，则x_【解析】因为f(x)x2，g(x)ln x，所以f(x)2x，g(x)且x0，f(x)g(x)2x1，即2x2x10，解得x1或x(舍去)，故x1.答案：15若质点P的运动方程是s(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t8 s时的瞬时速度【解析】因为s()，所以s|t8821，所以质点P在t8 s时的瞬时速度为 m/s.关闭Word文档返回原板块