1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十九)等差数列及其前n项和(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于()A.49B.42C.35D.24【解析】选B.设公差为d,由已知得2(a1+5d)=a1+7d+6,即a1+3d=6,所以S7=7a1+d=7(a1+3d)=76=42.【加固训练】(2013安徽高考)设Sn为等差数列an的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2【解析】
2、选A.由S8=4a38a1+d=4(a1+2d);由a7=-2a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.(2015铜陵模拟)设Sn为等差数列an的前n项和,若a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项a1等于()A.-B.-C.D.【解析】选D.由得解得a1=.故选D.3.已知数列an中,a3=2,a7=1,若数列为等差数列,则等于()A.0B.C.D.-1【解析】选B.设的公差为d,则=+4d,即4d=-=,所以d=,4.等差数列an的前n项和为Sn(n=1,2,3,),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为
3、定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为S15=15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列an中,|a3|=|a9|,公差dS6B.S5S6C.S6=0D.S5=S6【解题提示】根据已知得到a3+a9=0,从而确定出a6=0,然后根据选项即可判断.【解析】选D.因为d0,a90,a70,所以S5=S6.5.(2015龙岩模拟)已知等差数列an的前n项之和是Sn,则-ama10,Sm+10的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不
4、必要条件【解析】选A.若-ama10,a1+am+10,Sm+1=0,即0,即a1-am,若Sm+10,即0,即a1-am+1,所以-ama1-am+1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an中,a1=1且=+(nN*),则a10=.【解析】由=+知,数列为等差数列,则=1+(n-1),即an=.所以a10=.答案:7.(2015日照模拟)在等差数列an中,若a6+a7+a8=12,则此数列的前13项之和为.【解析】由等差数列的性质可知,a6+a7+a8=3a7=12,即a7=4,所以S13=13a7=52.答案:528.已知等差数列an的首项a1=20,公差d=-2,则前n项和S
5、n的最大值为.【解题提示】等差数列前n项的和Sn是关于n的二次函数,可将Sn的最大值转化为求二次函数的最值问题.【解析】因为等差数列an的首项a1=20,公差d=-2,代入求和公式得,Sn=na1+d=20n-2=-n2+21n=-+,又因为nN*,所以n=10或n=11时,Sn取得最大值,最大值为110.答案:110【方法技巧】求等差数列前n项和的最值的常用方法(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得Sn的最值.(2)利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)为二次函数,根据二次函数的性质求最值.(3)注意区别等差数列前n项
6、和Sn的最值和Sn的符号.【加固训练】在数列an中,a1=-18,an+1=an+3(nN*),则数列an的前n项和Sn的最小值为.【解析】由an+1=an+3知an是等差数列,首项为-18,公差为3,所以an=-21+3n.当n=7时,an=0,当n6时,an成立,求正整数m的最大值.【解析】(1)an+1=,=-1+,所以-=-1,所以为首项为-2,公差为-1的等差数列,所以=-2+(n-1)(-1)=-(n+1),所以an=.(2)bn=-1=,令Cn=B3n-Bn=+,所以Cn+1-Cn=+-=-+=-+-=0,所以Cn+1-Cn0,所以Cn为单调递增数列,所以(B3n-Bn)min=
7、B6-B2=+=,所以,所以m0的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p4【解析】选D.命题判断过程结论p1:数列an是递增数列由an+1-an=d0,知数列an是递增数列真命题p2:数列nan是递增数列由(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-na1+(n-1)d=a1+2nd,仅由d0是无法判断a1+2nd的正负的,因而不能判定(n+1)an+1,nan的大小关系假命题p3:数列是递增数列显然,当an=n时,=
8、1,数列是常数数列,不是递增数列假命题p4:数列an+3nd是递增数列数列的第n+1项减去数列的第n项an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=(an+1-an)+3(n+1)d-3nd=d+3d=4d0.所以an+1+3(n+1)dan+3nd,即数列an+3nd是递增数列真命题3.(5分)(2015淮北模拟)等差数列an中,已知a27,a69,则a10的取值范围是.【解析】由a27得-a2-7,a6=a2+4d9,所以4d9-a2,所以4d2.又因为a69,所以a10=a6+4d9+2=11,故a10的取值范围为11,+).答案:11,+)4.(12分)已知数列an的奇数项是公差为d1的
9、等差数列,偶数项是公差为d2的等差数列.Sn是数列an的前n项和,a1=1,a2=2.(1)若S5=16,a4=a5,求a10.(2)若d1=3d2(d10),且存在正整数m,n(mn),使得am=an,求当d1最大时,数列an的通项公式.【解析】(1)由题意,当n为奇数时,an=1+d1;当n为偶数时,an=2+(-1)d2.由S5=16,a4=a5可得解得d1=2,d2=3,所以a10=2+4d2=14.(2)因为d10,d20,且存在正整数m,n(mn),使得am=an,所以m,n中必然一个为奇数,一个为偶数.不妨设m为奇数,n为偶数,由am=an,得1+d1=2+（-1）d2,将d1=
10、3d2代入,化简得d1=.因为m为奇数,n为偶数,所以3m-n-1的最小值为2,此时d1=3,d2=1,【加固训练】已知数列an,anN*,Sn=(an+2)2.(1)求证:an是等差数列.(2)设bn=an-30,求数列bn的前n项和Tn的最小值.【解析】(1)因为Sn=(an+2)2,所以Sn-1=(an-1+2)2(n2).-得Sn-Sn-1=(an+2)2-(an-1+2)2(n2),即an=(an+2)2-(an-1+2)2.所以(an-2)2=(an-1+2)2,所以an+an-1=0或an-an-1=4.因为anN*,所以an+an-1=0舍去,所以an-an-1=4.a1=S1
11、=(a1+2)2,所以(a1-2)2=0,a1=2.所以an是首项为2,公差为4的等差数列.(2)bn=an-30=(4n-2)-30=2n-31.bn+1-bn=2(n+1)-31-(2n-31)=2.b1=a1-30=2-30=-29.所以bn是以b1=-29为首项,d=2为公差的等差数列.Tn=nb1+d=-29n+2=n2-30n.所以Tn=(n-15)2-225.当n=15时,数列bn的前n项和有最小值为-225.5.(13分)(能力挑战题)设同时满足条件:bn+1(nN*);bnM(nN*,M是与n无关的常数)的无穷数列bn叫“特界”数列.(1)若数列an为等差数列,Sn是其前n项和,a3=4,S3=18,求Sn.(2)判断(1)中的数列Sn是否为“特界”数列,并说明理由.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,则a1+2d=4,S3=a1+a2+a3=3a1+3d=18,解得a1=8,d=-2,所以Sn=na1+d=-n2+9n.(2)由故数列Sn适合条件.则当n=4或5时,Sn有最大值20,即Sn20,故数列Sn适合条件.综上,数列Sn是“特界”数列.关闭Word文档返回原板块