1、第二章 函数、导数及其应用第11节 导数的应用第二课时 导数与函数的极值、最值考纲了然于胸1了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)2会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)3会利用导数解决某些简单的实际问题要点梳理1函数的极值与导数质疑探究：f(x0)0 是可导函数 f(x)在 xx0 处取极值的什么条件？提示：必要不充分条件，因为当 f(x0)0 且 x0 左右两端的导数符号变化时，才能说 f(x)在 xx0 处取得极值反过来，如果可导函数 f(x)在 xx0 处取极值，则一定有 f(x0)0.2函数的最值(
2、1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则_为函数的最小值，_为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则_为函数的最大值，_为函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)(3)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为 求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的各_与端点处的_比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在a，b上的最值极值f(a)、f(b)极值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 小题查验1函数 f(x)(x21)22 的极值点是()Ax1 Bx1Cx1
3、或1 或 0 Dx0解析 f(x)x42x23，由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0 得x0 或 x1 或 x1.又当 x1 时，f(x)0，当1x0 时，f(x)0，当 0 x1 时，f(x)0，当 x1 时，f(x)0，x0,1，1 都是 f(x)的极值点答案 C2函数 f(x)xex，x0,4的最大值是()A0 B.1eC.4e4D.2e2解析 f(x)exxexex(1x)，令 f(x)0，得 x1.又 f(0)0，f(4)4e4，f(1)e11e，f(1)为最大值答案 B3函数 f(x)x33x23x4 在0,2上的最小值是()A.173B173C.4e4D.2e2解析 f(
4、x)x22x3，f(x)0，x0,2，得 x1.比较 f(0)4，f(1)173，f(2)103.可知最小值为173.答案 B4给出下列命题：f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的函数的极大值不一定比极小值大对可导函数 f(x)，f(x0)0 是 x0点为极值点的充要条件函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值其中真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析 错误f(x)0 能推出 f(x)为增函数，反之不一定如函数 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)0.所以 f(x)0 是 f(x)为增函数的充分条件，但不是必要条件错误一个
5、函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个正确一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系，极大值可能比极小值大，也可能比极小值小错误对要导函数 f(x)，f(x0)0 只是 x0 点为极值点的必要条件，如 yx3在 x0 时 f(0)0，而函数在 R 上为增函数，所以 0 不是极值点正确当函数在区间端点处取得最值时，这时的最值不是极值答案 5面积为 S 的矩形中，其周长最小时的边长是_解析 设矩形的一边边长为 x，则另一边边长为Sx，其周长为 l2x2Sx，x0，l22Sx2.令 l0，解得 x S.易知，当 x S时，其周长最小答案 S考点一 运用导数解决函数的极值问题(高频型考点全面发掘
6、)考情聚焦函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题归纳起来常见的命题角度有：(1)知图判断函数极值；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数角度一 知图判断函数极值1设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)解析 由题图可知，当 x2 时，f(x)0；当2x1
7、 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.由此可以得到函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取得极小值答案 D角度二 已知函数求极值2设 f(x)x3ax2bx1 的导数 f(x)满足 f(1)2a，f(2)b，其中常数 a，bR.(1)求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设 g(x)f(x)ex，求函数 g(x)的极值解(1)由于 f(x)3x22axb，则 f(1)32ab2a，解得 b3；f(2)124abb，解得 a32.所以 f(x)x332x23x1，f(x)3x23x3，于是有 f(1)52，f(1)3，故曲线 yf(
8、x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y52 3(x1)，即 6x2y10.(2)由(1)知 g(x)(3x23x3)ex，则 g(x)(3x29x)ex，令 g(x)0 得 x0 或 x3，于是函数 g(x)在(，0)上单调递减，在(0,3)上单调递增，在(3，)上单调递减所以函数 g(x)在 x0 处取得极小值 g(0)3，在 x3 处取得极大值 g(3)15e3.角度三 已知极值求参数3设 f(x)ln(1x)xax2，若 f(x)在 x1 处取得极值，则 a 的值为_解析 由题意知，f(x)的定义域为(1，)，且 f(x)11x2ax12ax22a1x1x，由题意得：f(1)0，则2a
9、2a10，得 a14，又当 a14时，f(x)12x212x1x 12xx11x，当 0 x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0，所以 f(1)是函数 f(x)的极小值，所以 a14.答案 14通关锦囊利用导数研究函数极值的一般流程考点二 运用导数解决函数的最值问题(重点型考点师生共研)【例 1】(2016洛阳统考)已知函数 f(x)1xx kln x，k1e，求函数 f(x)在1e，e 上的最大值和最小值解 因为 f(x)1xx kln x，f(x)x1xx2kxkx1x2.(1)若 k0，则 f(x)1x2在1e，e 上恒有 f(x)0，f(x)在1e，e 上单调递减f(x)min
10、f(e)1ee，f(x)maxf1e e1.(2)若 k0，f(x)kx1x2kx1kx2.若 k0，则在1e，e 上恒有kx1kx20，f(x)在1e，e 上单调递减，f(x)minf(e)1ee kln e1ek1，f(x)maxf1e ek1.若 k0，由 k1e，得1ke，则 x1k0，kx1kx20，f(x)在1e，e 上单调递减f(x)minf(e)1ee kln e1ek1，f(x)maxf1e ek1.综上，当 k0 时，f(x)min1ee，f(x)maxe1；当 k0 且 k1e时，f(x)min1ek1，f(x)maxek1.【名师说“法”】求函数f(x)在a，b上的最大
11、值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值跟踪训练设函数 f(x)aln xbx2(x0)，若函数 f(x)在 x1 处与直线y12相切，(1)求实数 a，b 的值；(2)求函数 f(x)在1e，e 上的最大值解(1)f(x)ax2b，函数 f(x)在 x1 处与直线 y12相切，f1a2b0，f1b12，解得a1，b12.(2)由(1)得 f(x)ln x12x2，则 f(x)1xx1x2x，当1exe 时，令 f(x)0 得1ex1；令 f
12、(x)0，得 1xe，f(x)在1e，1 上单调递增，在1，e上单调递减，f(x)maxf(1)12.考点三 利用到书研究生活中的最优化问题(重点型考点师生共研)【例 2】(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为 r 米，高为 h米，体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为 100 元/平方米，底面的建造成本为 160 元/平方米，该蓄水池的总建造成本为 12 000 元(为圆周率)(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r)的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大
13、 解 (1)因 为 蓄 水 池 侧 面 的 总 成 本 为 1002rh 200rh(元)，底面的总成本为 160r2 元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意 200rh160r212 000，所以 h 15r(3004r2)，从而 V(r)r2h5(300r4r3)因为 r0，又由 h0 可得 r5 3，故函数 V(r)的定义域为(0,5 3)(2)因为 V(r)5(300r4r3)，所以 V(r)5(30012r2)令 V(r)0，解得 r15，r25(因为 r25 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时，V(r)0，故 V(r)在(0,5)上为增函数；当 r(5,5
14、 3)时，V(r)0，故 V(r)在(5,5 3)上为减函数由此可知，V(r)在 r5 处取得最大值，此时 h8.即当 r5，h8 时，该蓄水池的体积最大【名师说“法”】利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答跟踪训练某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x
15、6)2，其中 3x6，a 为常数已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)(x3)2x310 x62210(x3)(x6)2,3x6.从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x
16、)极大值 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大规范答题 2 函数与不等式恒成立问题典例(本题满分 12 分)已知函数 f(x)ln x，若存在 g(x)使得 g(x)f(x)恒成立，则称 g(x)是 f(x)的一个“下界函数”(1)如果函数 g(x)txln x(t 为实数)为 f(x)的一个“下界函数”，求 t 的取值范围；(2)设函数 F(x)f(x)1ex 2ex，试问函数 F(x)是否存在零点？若存在，求出零点个数；若
17、不存在，请说明理由审题视角(1)根据“下界函数”的定义转化为不等式恒成立问题 分离参数转化为函数最值问题(2)Fx0是否成立 证明Fx0进行否定解(1)g(x)f(x)恒成立，即txln xln x 恒成立因为 x0，所以 t2xln x(2 分)令 h(x)2xln x，则 h(x)2(1ln x)，当 x0，1e 时，h(x)0，所以 h(x)在0，1e 上是减函数当 x1e，时，h(x)0，所以 h(x)在1e，上是增函数(4 分)所以 h(x)minh1e 2e.所以 t2e.(5 分)(2)由(1)，知 2xln x2e，所以 ln x 1ex.(6 分)因为 F(x)f(x)1ex
18、 2ex，所以 F(x)ln x1ex 2ex 1ex1ex1x1exex.(8 分)令 G(x)1exex，则 G(x)ex(x1)则当 x(0,1)时，G(x)0，所以 G(x)在(0,1上是减函数，当 x(1，)时，G(x)0，所以 G(x)在1，)上是增函数(10 分)所以 G(x)G(1)0.所以 F(x)0，因为中等号取到的条件不同，所以 F(x)0.所以函数 F(x)不存在零点(12 分)方法点睛 判断方程 F(x)0 是否有解，其无解的情况就是证明 F(x)0 恒成立或者 F(x)0 恒成立，可以转化为求函数F(x)的最值问题，但在本题中充分使用了第(1)问的结论，通过不等式的
19、放缩进行解题，这种在解题中用到前面已经解决了问题的结论的方法在高考试题中是非常普遍的即时突破 已知 x12，函数 f(x)x2，h(x)2eln x(e 为自然常数)(1)求证：f(x)h(x)；(2)若 f(x)h(x)且 g(x)h(x)恒成立，则称函数 h(x)的图象为函数 f(x)，g(x)的“边界”，已知函数 g(x)4x2pxq(p，qR)，试判断“函数 f(x)，g(x)以函数 h(x)的图象为边界”和“函数 f(x)，g(x)的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数 p，q 的值；若不能同时成立，请说明理由(1)证明 记 u(x)f(x)h(x
20、)x22eln x，则 u(x)2x2ex.令 u(x)0，因为 x12，所以 x e.所以函数 u(x)在12，e 上单调递减，在 e，)上单调递增u(x)minu(e)f(e)h(e)ee0，即 u(x)0，所以 f(x)h(x)(2)由(1)，知 f(x)h(x)对 x12恒成立，当且仅当 x e时等号成立，记 v(x)h(x)g(x)2eln x4x2pxq，则“v(x)0 恒成立”与“函数 f(x)，g(x)的图象有且仅有一个公共点”同时成立，即 v(x)0 对 x12恒成立，当且仅当 x e时等号成立，所以函数 v(x)在 x e时取得极小值注意到 v(x)2ex 8xp8x2px
21、2ex，由 v(e)0，解得 p10 e)，此时 v(x)8x ex e4x，由 x12，知函数 v(x)在12，e 上单调递减，在 e，上单调递增，即 v(x)minv(e)h(e)g(e)5eq0，q5e，综上，两个条件能同时成立，此时 p10 e，q5e.课堂小结【方法与技巧】1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较【失误与防范】1注意定义域优先的原则，求函数的单调区间和极值点必须在函数的定义域内进行2对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件3求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论课时活页作业(十五)点击图标进入 谢谢观看！