1、第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集 合考纲了然于胸1了解集合的含义、元素与集合的属于关系2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集要点梳理 1集合的概念与表示(1)集合中元素的三个特征：_、_、_(2)元素与集合的关系有_和_两种，表示符号为_或_.(3)集合的表示方法有_、_和维恩(Venn)图确定性互异性无序性属于不属于列举法描述法(4)常见集合的符号表
2、示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集复数集符号NN或 N*ZQRC2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言相等集合 A 与集合 B 中的所有元素_AB，_AB子集集合 A 中任意一个元素都是集合 B的元素_或_都相同BAABBA表示关系文字语言符号语言真子集集合 A 中任意一元素均为集合 B 的元素，且集合 B 中_不是集合 A 中的元素_或_空集空集是任意一个集合的子集，是任何_的真子集_，B(B)至少有一个元素A BB A非空集合A3集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA 或 xBABx|xA 且 xBUAx|xU，且 xA质疑探究：对于集合 A、B，若
3、ABAB，那么 A 与 B之间有什么关系？提示：因为 ABAB，从而有 ABAB，所以必有AB.4集合的运算性质并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABA_.交集的性质：A；AAA；ABBA；ABA_.补集的性质：A(UA)_；A(UA)_；U(UA)_.BAABUA小题查验 1设集合 U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，则UM 等于()AUB1,3,5C3,5,6 D2,4,6解析 U1,2,3,4,5,6，M1,2,4，UM3,5,6答案 C2(2016宁德质检)已知集合 A0,1，B1,0，a2，若 AB，则 a 的值为()A2 B1 C0 D1解析 AB，a21，a1.故选 B.答
4、案 B3(2015新课标卷)已知集合 Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合 AB 中元素的个数为()A5 B4 C3 D2解析 A2,5,8,11,14,17，AB8,14，故选 D.答案 D4给出下列命题：空集是任何集合的子集，两元素集合是三元素集合的子集a 在集合 A 中，可用符号表示为 aA.NN*Z(AB)(AB)，(UA)AU.其中真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析 对于，两元素集合不一定是三元素集合的子集，所以不正确；对于，元素与集合的关系是属于和不属于的关系，a 在集合 A 中，应表示为 aA，所以不正确；对于，由正整数集、自然数集、整数集的关系知，N*
5、NZ，所以不正确；对于，由交集、并集、补集的意义知正确答案 5(2016中原名校联盟一模)设 A1,4,2x，若 B1，x2，若 BA，则 x_.解析 由 BA，则 x24，或 x22x.当 x24 时，x2，但 x2 时，2x4，这与集合元素的互异性相矛盾；当 x22x时，x0，或 x2，但 x2 时，2x4，这与集合元素的互异性相矛盾综上所述，x2 或 x0.答案 0 或2考点一 集合的基本概念(基础型考点自主练透)方法链接 1研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性2对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集
6、合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性题组集训 1(2016洛阳统考)已知集合 A1,2,4，则集合 B(x，y)|xA，yA中元素的个数为()A3 B6 C8 D9解析 集合 B 中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共 9 个答案 D2设 a，bR，集合1，ab，a0，ba，b，则 ba_.解析 因为1，ab，a0，ba，b，a0，所以 ab0，得ba1，所以 a1，b1.所以 ba2.答案 23已知集合 M1，m2，m24，且 5M，则 m 的值为_解析 因为 51，m2
7、，m24，所以 m25 或 m245，即 m3 或 m1.当 m3 时，M1,5,13；当 m1 时，M1,3,5；当 m1 时，M1,1,5不满足互异性所以 m 的值为 3 或 1.答案 3 或 1考点二 集合间的基本关系(重点型考点师生共研)【例】(1)(2016临沂模拟)已知集合 Ax|ax1，Bx|x210，若 AB，则 a 的取值构成的集合是()A1 B1C1,1 D1,0,1(2)已知集合 Ax|2x7，Bx|m1x2m1，若 BA，则实数 m 的取值范围是_解析(1)由题意，得 B1,1，因为 AB，所以当 A时，a0；当 A1时，a1；当 A1时，a1.又 A 中至多有一个元素
8、，所以 a 的取值构成的集合是1,0,1故选 D.(2)当 B时，有 m12m1，则 m2.当 B时，若 BA，如图则m122m17m12m，解得 2m4.综上，m 的取值范围为 m4.答案(1)D(2)m|m4互动探究 本例(1)中若 Ax|ax1(a0)，Bx|x210，其它条件不变，则 a 的取值范围是_解析 由题意，得 Bx|x1，或 x1，对于集合 A，当 a0 时，Ax|x1a.因为 AB，所以1a1.又 a0，所以 0a1.当 a0 时，Ax|x1a.因为 AB，所以1a1，又 a0，所以1a0，综上所述，0a1，或1a0.答案 1,0)(0,1【名师说法】(1)由集合的关系求参
9、数的关键点由两集合的关系求参数，其关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且常要对参数进行讨论，注意区间端点的取舍(2)解决集合相等问题的一般思路若两个集合相等，首先分析某一集合的已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况，然后列方程(组)求解提醒：解决两个集合的包含关系时，要注意空集的情况跟踪训练(1)若集合 A0,1,2，x，B1，x2，ABA，则满足条件的实数 x 有()A1 个 B2 个 C3 个 D4 个解析 A0,1,2，x，B1，x2，ABA，BA，x20 或 x22 或 x2x，解得 x0
10、或 2或 2或 1.经检验当 x 2或 2时满足题意答案 B(2)已知集合 Ax|log2x2，B(，a)，若 AB，则实数 a 的取值范围是(c，)，其中 c_.解析 由 log2x2，得 0 x4，即 Ax|0 x4，而B(，a)，由于 AB，如图所示，则 a4，即 c4.答案 4考点三 集合的基本运算(高频型考点全面发掘)考情聚焦 角度一 求交集1(2015高考新课标卷)已知集合 A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则 AB()A1,0 B0,1C1,0,1 D0,1,2解析 由已知得 Bx|2x1，所以 AB1,0，故选 A.答案 A角度二 求并集2(2016南昌模拟)集合
11、 Mx|x2px20，Nx|x2xq0，MN2，则 MN()A1,2，3 B1,2,3C1，2,3 D1,2,3解析 选 A.因为 MN2，所以 2M 且.2N，故42p20，42q0，所以p3，q6，所以 Mx|x23x201,2，Nx|x2x602，3，故 MN1,2，3答案 A角度三 集合的交、并、补的综合运算3(2016湖州模拟)已知全集为 R，集合 Ax|ex1，Bx|x24x30，则 A(RB)()Ax|x0 Bx|1x3Cx|0 x1 或 x3 Dx|0 x1 或 x3解析 选 C.由 A 中不等式变形得：ex1e0，得到 x0，即 Ax|x0，由 B 中不等式变形得：(x1)(
12、x3)0，解得1x3，即 Bx|1x3，RBx|x1 或 x3，则 A(RB)x|0 x1 或 x3答案 C角度四 利用集合的基本运算求参数的取值(范围)4(2016宁波模拟)已知集合 Ax|xa，Bx|1x2，且 ARBR，则实数 a 的取值范围是_解析 RBx|x1，或 x2，要使 A(RB)R，则a2.答案 2，)通关锦囊 集合基本运算的常见题型与破解策略：重点题型破解策略求并集、交集或补集一般是先解方程或不等式化简集合，再由并集、交集或补集的定义求解交、并、补的混合运算先算括号里面的，再按运算的顺序求解利用集合的基本运算求参数的取值(范围)数形结合思想的运用，利用好数轴、Venn图等.
13、题组集训 1(2016广东七校联考)已知集合 Ax|0log4x1，Bx|x2，则 AB()A(0,1)B(0,2C(1,2)D(1,2解析 选 D.由 A 中的不等式变形得：log41log4xlog44，解得 1x4，即 A(1,4)，B(，2，AB(1,2故选 D.答案 D2(2016济南模拟)已知集合 Plog2x4,3，Qx，y，若 PQ2，则 PQ 等于()A2,3 B1,2,3C1，1,2,3 D2,3，x，y解析 选 B.Plog2x4,3，Qx，y，若 PQ2，则 log2x42，即 2x2，解得 x1，则 P2,3，Q1，y，则 y2，即 Q1,2，则 PQ1,2,3，故选
14、 B.答案 B3(2016宜宾模拟)已知集合 My|yx22，集合 Nx|yx22，则有()AMNBM(RN)CN(RM)DNM解析 选 B.由集合 N 中的函数 yx22，得到 xR，所以集合 N(，)，由集合 M 中的函数 yx222，得到集合 M2，)，MN，MN，M(RN)，故选 B.答案 B创新探究 1 以集合为载体的创新型问题以集合为载体的创新型问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算以及创新交汇等，此类问题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力典例(2016揭阳校级三模)对于集合 A，如果定义了一种运算“”，使得集合 A 中的元
15、素间满足下列 4 个条件：()a，bA，都有 abA()eA，使得对aA，都有 eaaea；()aA，aA，使得 aaaae；()a，b，cA，都有(ab)ca(bc)，则称集合 A 对于运算“”构成“对称集”下面给出三个集合及相应的运算“”；A整数，运算“”为普通加法；A复数，运算“”为普通减法；A正实数，运算“”为普通乘法其中可以构成“对称集”的有()ABCD审题视角 根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论解析 A整数，运算“”为普通加法，根据加法运算可知满足 4 个条件，其中 e0，a、a互为相反数；A复数，运算“”为普通减法，不满足 4 个条件；A正实数，运算“”为普通乘法，根据
16、乘法运算可知满足 4 个条件，其中 e1，a、a互为倒数故选 B.答案 B方法点睛 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质即时突破(2016潍坊模拟)设 M 是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件：()对 M 中任意元素 a，b，c 都有(a#b)#ca#(b#c)；()对 M 中任意两个元素 a，b，满足 a#bM.则称 M 对运算#封
17、闭下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为_2，1,1,2，1，1,0，Z，Q.解析 中，当 a1，b1 时，ab02，1,1,2，当 a2，b2 时，ab42，1,1,2，故中集合加法和乘法都不封闭中集合 M1，1,0满足：()对 M 中任意元素 a，b，c 都有(ab)ca(bc)；()对 M 中任意两个元素 a，b，满足 abM.故中集合对加法运算和乘法运算都封闭中集合 MZ 满足：()对 M 中任意元素 a，b，c 都有(ab)ca(bc)；()对 M 中任意两个元素 a，b，满足 abM.故中集合对加法运算和乘法运算都封闭中集合 MQ 满足：()对 M 中任意元素 a，b，c 都有(a
18、b)ca(bc)；()对 M 中任意两个元素 a，b，满足 abM.故中集合对加法运算和乘法运算都封闭答案 1集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现课堂小结【方法与技巧】1集合问题解题中要认清集合中元素的属性(是数集、点集还是其他类型集合)，要对集合进行化简2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系【失误与防范】4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心5 要 注 意 AB、AB A、AB B、UAUB、A(UB)这五个关系式的等价性课时活页作业(一)点击图标进入 谢谢观看！