1、第八章概率与统计考点测试56分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读运用分类、分步计数原理解决实际或数学问题是高考热点，要注意与概率问题的结合一、基础小题1若x1,2,3，y5,7,9，则xy的不同值的个数是()A2 B6 C9 D8答案C解析求xy需分两步取值：第一步，x的取值有3种；第二步，y的取值有3种，故有339个不同的值故选C2有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式的种数为()A24 B14 C10 D9答案B解析根据题目信息可得需
2、要分两类：一类是衬衣裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，共有4312种；第二类是连衣裙，2种选择故共有12214种故选B3把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多有5个，则不同的分法共有()A4种 B5种 C6种 D7种答案A解析分类考虑，若最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有1种分法；若最少一堆是2个，则由3544知有2种分法；若最少一堆是3个，则另两堆为3个、4个，共1种，故共有分法1214种4某校科技大楼电子阅览室在第8层，每层均有2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有()A29种 B28种 C27种 D82种答案C解析因为从一楼到二楼有2种
3、走法，从二楼到三楼有2种走法，从一楼到八楼分7步进行，每步都有2种不同的走法，所以根据分步乘法计数原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有27种，故选C5小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种手机充值卡若他至少买一张，则不同的买法共有()A7种 B8种 C6种 D9种答案A解析要完成的一件事是“至少买一张手机充值卡”，分三类完成：买1张卡，买2张卡，买3张卡而每一类都能独立完成“至少买一张手机充值卡”这件事买1张卡有2种方法，买2张卡有3种方法，买3张卡有2种方法，故共有2327种不同的买法故选A6小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两
4、枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有()A4种 B5种 C6种 D9种答案B解析记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212,21211212,21212112三种，共5种摆法，故选B7有四位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A8 B9 C10 D11答案B解析解法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监
5、考剩下的三个班级也各有3种不同的方法由分类加法计数原理知共有3339种不同的安排方法解法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有33119种不同的安排方法8某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A504 B210 C336 D120答案A解析分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个新节目，有9种方法故共有789504种不同的插法9如图，用6种不
6、同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()A400种 B460种C480种 D496种答案C解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，得不同涂法有654(13)480种故选C10某彩票公司每天开奖一次，从1,2,3,4四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止如果第一天开出的号码是4，那么第五天开出的号码也同样是4的所有可能的情况有()A14种 B21种 C24种 D35种答案B解析第一天开出4，第五天同样开出4，则第二天开出的号码有3种情
7、况，如果第三天开出的号码是4，则第四天开出的号码有3种情况；如果第三天开出的号码不是4，则第四天开出的号码有2种情况，所以满足条件的情况有31332221种故选B11在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科，3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_种答案10解析选择两门理科学科，一门文科学科，有CC9种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种12从数字1,2,3,4,5,6中取两个数相加，所得的和共有_个不同的偶数答案4解析由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两
8、个数都是奇数，分两类：第一类，两个数都是偶数，246,268,4610，共得3个偶数；第二类，两个数都是奇数，134,156,358，共得3个偶数2635,2415，从数字1,2,3,4,5,6中取两个相加，所得的和中共有4个不同的偶数二、高考小题13(2016全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9答案B解析分两步，第一步，从EF，有6条可以选择的最短路径；第二步，从FG，有3条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有6318条可以选择的最短路径故选B14(20
9、15四川高考)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有()A144个 B120个 C96个 D72个答案B解析当首位数字为4，个位数字为0或2时，满足条件的五位数有CA个；当首位数字为5，个位数字为0或2或4时，满足条件的五位数有CA个故满足条件的五位数共有CACA(23)A5432120个故选B15(2015广东高考)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案1560解析同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有40人，全班共写了40391560条毕业留言三、模拟小题16(201
10、9天津市部分区县模拟)全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是()AC BA C53 D35答案C解析全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5个学科，3名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从5科中任选一科，由分步乘法计数原理，可得不同的报名种数是55553.故选C17(2019玉林联考)若自然数n使得作竖式加法n(n1)(n2)均不产生进位现象，则称n为“开心数”例如：32是“开心数”，因323334不产生进位现象；23不是“开心数”，因232425产生进位现象，那么
11、，小于100的“开心数”的个数为()A9 B10 C11 D12答案D解析根据题意，个位数需要满足n(n1)(n2)10，即n，个位数可取0,1,2三个数，十位数需要满足：3n10，n，十位可以取0,1,2,3四个数，故小于100的“开心数”共有3412个故选D18(2019河北鸡泽一中模拟)从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为()A18 B200 C2800 D33600答案C解析从5种主料中选2种，有C10种方法，从8种辅料中选3种，有C56种方法，根据分步乘法计数原理得烹饪出不同的菜的种数为105652800，选C19(20
12、20新余市高三期末考试)把1,2,3，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？()A31 B30 C28 D32答案B解析该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C5个，当6前有2个数字时，有C10个，当6前有3个数字时，有C10个，当6前有4个数字时，有C5个，根据分类加法计数原理，共有51010530个，故选B20(2019洛阳高三统考)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有()A24种 B36种 C48种 D60种答案D解析分两类，第
13、一类有3名被录用，有A24种；第二类，4名都被录用，则有一家录用2名，有CA36，根据分类加法计数原理共有243660种故选D21(2019河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有()A360种 B720种 C780种 D840种答案B解析由题意，知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有5432120种方法，故一共有6120720种方法故选B22(2020黑龙江大庆十中月考)数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖
14、规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci(斐波那契数列)：1,1,2,3,5,8,13,21，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共8级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是()A20 B34 C42 D55答案B解析登上第1级：1种；登上第2级：2种；登上第3级：123种(前一步要么从第1级迈上来，要么从第2级迈上来)；登上第4级：235种(前一步要么从第2级迈上来，要么从第3级迈上来)；登上第5级：358种；登上第6级：5813种；登上第7级：
15、81321种；登上第8级：132134种，故选B23(2019浙江杭州二中仿真模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓则不同的固定螺栓方式的种数是_答案60解析根据题意，第一个可以从6个螺栓中任意选一个，共有6种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选1号螺栓的时候，第二个可以选3,4,5号螺栓，依次选下去，可以得到共有10种方法，所以总共有10660种方法24(2019广州市天河区高三一模)如果一个三位数abc同时满足ab且bc，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_答案285解析根据题
16、意，按十位数字分类讨论：十位数字是9时不存在，此时三位“凹数”的个数为0；十位数字是8时，只有989，此时三位“凹数”的个数为1；十位数字是7时，则百位与个位都有2种可能，所以此时三位“凹数”的个数为224；十位数字是6时，则百位与个位都有3种可能，所以此时三位“凹数”的个数为339；十位数字是5时，则百位与个位都有4种可能，所以此时三位“凹数”的个数为4416；十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时三位“凹数”的个数为5525；十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时三位“凹数”的个数为6636；十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时三位“凹数”的个数为7749；十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时三位“凹数”的个数为8864；十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时三位“凹数”的个数为9981，所以所有不同的三位“凹数”的个数是1481285.本考点在近三年高考中未涉及此题型