1、课时跟踪检测(十四)余弦定理、正弦定理应用举例A级基础巩固1从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得建筑物顶部仰角为，则山顶的仰角为()ABC D解析：选C如图可知，山顶的仰角为.故选C.2.学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 m B8 mC2 m D4 m解析：选D在ABC中，已知可得BCAC4，C180302120.所以由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos 120424224448，AB4(m)3在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60和30，已知建筑物底部高
2、出地面D点20 m，则建筑物高度为()A20 m B30 mC40 m D60 m解析：选C如图，设O为塔顶在地面的射影，在RtBOD中，ODB30，OB20，BD40，OD20. 在RtAOD中，OAODtan 6060. ABOAOB40. 故选C.4(多选)某人向正东走了x km后向右转了150，然后沿新方向走3 km，结果离出发点恰好 km，那么x的值是()A. B2C3 D6解析：选AB由题作出示意图，如图所示，易知B30，AC，BC3，由正弦定理得sin A，因为BCAC，所以AB，又因为B30，所以A有两解，即A60或120.当A60时，ACB90，x2；当A120时，ACB30
3、，x.5一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A. n mile/h B34 n mile/hC. n mile/h D34 n mile/h解析：选A如图所示，在PMN中，MN34，v (n mile/h)故选A.6某人从A处出发，沿北偏东60行走3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为_km.解析：如图所示，由题意可知AB3，BC2，ABC150.由余弦定理，得AC2274232cos 15049，AC7. 则A，C两地的距离为7 km.答案：77甲
4、、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲楼高_米，乙楼高_米解析：甲楼的高为20tan 602020(米)；乙楼的高为2020tan 302020(米)答案：208.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由点A开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAC45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在距A点_ dm的C处截住足球解析：设BCx dm，由题意知CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22AB
5、ACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.AC172x7(dm)或(dm)(舍去)该机器人最快可在线段AD上距A点7 dm的点C处截住足球答案：79海上某货轮在A处看灯塔B，在货轮北偏东75，距离为12 n mile；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8 n mile；货轮向正北由A处航行到D处，此时看灯塔B，在货轮南偏东60.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离解：由题意，画出示意图，如图所示(1)在ABD中，由已知ADB60，DAB75，则B45.由正弦定理，得AD24(n mile)故A处与D处之间距离为24 n
6、 mile.(2)在ADC中，由余弦定理，得CD2AD2AC22ADACcos 30242(8)22248(8)2，所以CD8(n mile)故灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.10.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60 m，求建筑物的高度解：设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cos PBA，cos PBC.PBAPBC180，cos PBAcos PBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.B级综合运用11.如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B
7、间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A3B2C1 D0解析：选A对于，利用内角和定理先求出CAB，再利用正弦定理解出c；对于，直接利用余弦定理c2a2b22abcos C即可解出c；对于，先利用内角和定理求出CAB，再利用正弦定理解出c.故选A.12(多选)一艘客船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30方向，之后它以每小时32 n mile的速度继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时测得客船
8、与灯塔S相距8 n mile，则灯塔S可能在B处的()A北偏东75 B南偏东15C东北方向 D东南方向解析：选AB画出示意图如图，客船半小时航行的路程为3216(n mile)，AB16 n mile.又BS8 n mile，BAS30，sinASB，ASB45或ASB135.当船在B处时，ASB45，BBS75；当船在B处时，ASB135，ABS15.综上，灯塔S在B处的北偏东75或南偏东15，故选A、B.13台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为_h.解析：设t h时，B市恰好
9、处于危险区，则由余弦定理得(20t)2402220t40cos 45302. 化简，得4t28t70，t1t22，t1t2.从而|t1t2|1(h)答案：114.某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10 海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10 海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解：设所需时间为t小时，则AB10t，CB10t，在ABC中，根据余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos 120，可得(10t)2102(1
10、0t)221010tcos 120，整理得2t2t10，解得t1或(舍去)所以护航舰需要1小时靠近货船此时AB10，BC10，在ABC中，由正弦定理，得，所以sinCAB，则CAB30，故护航舰航行的方位角为75.C级拓展探究15为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km内不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.在ABC中，AB(km)，AC1(km)，ABC30，由正弦定理，得sinACBAB，ACB120(ACB60不合题意)，BAC30，BCAC1(km)在ACD中，ACAD1，ACD60，ACD为等边三角形，CD1(km)605，在BC上需5 min，CD上需5 min.最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格