1、专题课堂(九)解直角三角形的应用一、构造直角三角形解决实际问题1(2021通辽)如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行为测量其宽度，小明在南岸边 B 处测得对岸边 A 处一棵大树位于北偏东 60方向，他以 1.5 m/s 的速度沿着河岸向东步行 40 s 后到达 C 处，此时测得大树位于北偏东 45方向，试计算此段河面的宽度(结果取整数，参考数据：3 1.732)解：如图，作 ADBC 于 D.由题意可知：BC1.54060(m)，ABD906030，ACD904545，在 RtACD 中，tanACDtan 45ADCD 1，ADCD，在 RtABD 中，tan ABDtan 30AD
2、BD，BDADtan 30 3 AD，BCBDCD 3 ADAD60，AD30(3 1)82(m)，答：此段河面的宽度约为 82 m2(2021河池)如图，小明同学在民族广场 A 处放风筝，风筝位于 B 处，风筝线 AB 长为 100 m，从 A 处看风筝的仰角为 30，小明的父母从 C 处看风筝的仰角为 50.(1)风筝离地面多少米？(2)A，C 相距多少米？(结果保留小数点后一位，参考数据：sin 300.5，cos 300.8660，tan 300.5774，sin 500.7760，cos 500.6428，tan 501.1918)解：(1)过 B 作 BDAC 于 D，如图所示，则
3、ADBCDB90，BAD30，BD12 AB50(m)，即风筝离地面 50 m(2)由(1)得BD50 m，在 RtBCD 中，BCD50，tan BCDBDCD tan 50，CDBDtan 50 501.1918 41.95(m)，在 RtABD 中，BAD30，tan BADBDAD tan 30，ADBDtan 30 500.5774 86.60(m)，ACADCD41.9586.60128.6(m)，即 A，C 约相距 128.6 m3(2021台州)图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图支撑杆AB垂直于地面l，活动杆CD固定在支撑杆上的点E处若AED48，BE1
4、10 cm，DE80 cm，求活动杆端点D离地面的高度DF.(结果精确到1 cm，参考数据：sin 480.74，cos 480.67，tan 481.11)解：如图，过点 D 作 DGAE 于点 G，得矩形 GBFD，DFGB，在 RtGDE 中，DE80 cm，GED48，GEDEcos 48800.6753.6(cm)，GBGEBE53.6110164(cm).DFGB164cm.答：活动杆端点 D 离地面的高度 DF 约为 164 cm二、利用方程的思想解决实际问题4(2021湘西州)有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987 年为庆祝湘西自治州成立
5、三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”CH 的高度，在楼前的平地上 A处，观测到楼顶 C 处的仰角为 30，在平地上 B 处观测到楼顶 C 处的仰角为 45，并测得 A，B 两处相距 20 m，求“一心阁”CH 的高度(结果保留小数点后一位，参考数据：2 1.41，3 1.73)解：设 CH 为 x m，由题意得AHC90，CBH45，A30，BHCHx m，AH 3 CH 3 x m，AHBHAB，3 xx20，解得 x10(3 1)27.3(m)，答：“一心阁”CH 的高度约为 27.3 m5(2021呼和浩特)
6、如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EFMN.综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C，D，且CD60米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东45方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55方向，请你根据所测数据求出该段河的宽度(用非特殊角的三角函数或根式表示即可)解：如图，过 C，D 分别作 CPMN，DQMN，垂足为 P，Q，设河宽为 x 米由题意知，ACP 为等腰直角三角形，APCPx 米，BP(x20)米，在 RtBDQ 中，BDQ55，tan 55BQDQ x2060 x
7、，tan 55xx40，x40tan 551.答：河宽为40tan 551 米6(聊城中考)某数学兴趣小组要测量实验大楼部分楼体的高度(如图所示，CD 部分)，在起点 A 处测得大楼部分楼体 CD 的顶端 C 点的仰角为45，底端 D 点的仰角为 30，在同一剖面沿水平地面向前走 20 米到达 B处，测得顶端 C 的仰角为 63.4(如图所示)，求大楼部分楼体 CD 的高度约为多少米？(精确到 1 米，参考数据：sin 63.40.89，cos 63.40.45，tan 63.42.00，2 1.41，3 1.73)解：设楼高 CE 为 x 米，在 RtAEC 中，CAE45，AECEx，AB20，BEx20，在 RtCEB 中，CEBEtan 63.42(x20)，2(x20)x，解得 x40 米，在 RtDAE 中，DEAEtan 3040 3340 33(米)，CDCEDE4040 3317(米)，答：大楼部分楼体 CD 的高度约为 17 米