1、高考资源网（） 您身边的高考专家专题检测（十五） 圆锥曲线的方程与性质A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A.2B.3C.4 D.8解析：选D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.2.一个焦点为(，0)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选B设所求双曲线方程为t(t0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|26.又焦点在x轴上，所以t2，即双曲线方程为1.3.已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y
2、29，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析：选D设圆M的半径为r，则|MC1|13r，|MC2|3r，|MC1|MC2|16|C1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(4，0)为焦点的椭圆，且2a16，a8，c4，则b2a2c248，所以点M的轨迹方程为1.4.(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B.C. D.解析：选B由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以 |OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00
3、，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.故选B.5.(2019石家庄市模拟(一)已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选BFP的斜率为，FPl，直线l的斜率为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中点为M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，椭圆的离心率为，故选B.6.(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.B.C.2 D.解析
4、：选A设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.故选A.二、填空题7.(2019北京通州区三模改编)抛物线y22px(p0)的准线与双曲线x21的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p_，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，双曲线x21的两条渐近线方程分别为y2x，y2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此2p2，解得p
5、2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y2x和y2x的距离相等，均为.答案：28.设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x21的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数为_.解析：直线l的方程为2xy20，交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|，由PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2xy20的距离为的点都在直线2xy10和2xy30上，而直线2xy10与椭圆相交，2xy30与椭圆相离，满足题意的点P有2个.答案：29.已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若0，则y0的取值
6、范围是_.解析：由题意知a，b1，c，设F1(，0)，F2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线C上，y1，即x22y，22y3y0，y0.答案：y0b0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积.解：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的
7、方程，得消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.11.(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y
8、22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12.(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值.解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，a3，b2，c1.椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0).据题意，直线F1M的方程为y2(x1).记直线F1M
9、与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2).F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2).联立得消去y，得14x227x90.由题意知x1x2，x1，x2，k1，k2，3k12k2320，即3k12k2的值为0.B组大题专攻强化练1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在
10、第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0).由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.2.在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解：(1)设 C(m，0)，D(0，n)，P(x
11、，y).由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M的坐标为(x1x2，y1y2).易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，所以y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.此时直线l的方程为yx1.3.已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，焦距为2.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q(0，2)作斜率为k(k0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若x轴上的一点E
12、满足|AE|BE|，试求出点E的横坐标的取值范围.解：(1)由已知得，2c2，所以c1，a3，b2a2c28.所以椭圆C的方程为1.(2)根据题意可设直线l的方程为ykx2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为G(x0，y0).设点E(m，0)，使得|AE|BE|，则EGAB.由得(89k2)x236kx360，x1x2，所以x0，y0kx02，因为EGAB，所以kEG，即，所以m，当k0时，9k212，所以m0；当k0时，9k12，所以0b0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|BF|.(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C
13、于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ，求直线l的方程及椭圆C的方程.解：(1)由已知|AB|BF|，得 a，即4a24b25a2，4a24(a2c2)5a2，所以e.(2)由(1)知a24b2，所以椭圆C的方程可化为1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，从而kPQ2，所以直线l的方程为y2，即2xy20.联立消去y，得17x232x164b20.则3221617(b24)0b，x1x2，x1x2.因为OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40，从而40，解得b1，所以椭圆C的方程为y21.综上，直线l的方程为2xy20，椭圆C的方程为y21.- 9 - 版权所有高考资源网
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