1、第四讲 转化与化归思想 【思想解读】转化与化归思想方法就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而解决问题的一种思想.其应用包括以下三个方面(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题.(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题.(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题.热点1 特殊与一般的转化【典例1】(2016大庆一模)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 (1 2,0 1)的点P组成,则D的面积为()A.2 B.3 C.5 D.7 APABAC【解析】选B.分别令=1,2,在0,1内变化,令=0,1,在1,2内
2、变化.可得D为一个平行四边形区域,其面积为三角形ABC面积的两倍.直线AB的方程为x-2y-3=0,|AB|=4 15，点C到AB的距离d=则D的面积为|223|355，13253.25【规律方法】化一般为特殊的应用(1)常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.(2)对于选择题,当题设在普通条件下都成立时,用特殊值进行探求,可快捷地得到答案.(3)对于填空题,当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时,可以把题中变化的量用特殊值代替,即可得到答案.【变式训练】1.(2016郑州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,若a,b,c
3、成等差数列,则 =_.cos Acos C1 cos Acos C【解析】令a=b=c,则ABC为等边三角形,且cosA=cosC=,代入所求式子,得 答案:1211cos Acos C422.111 cos Acos C5122452.在定圆C:x2+y2=4内过点P(-1,1)作两条互相垂直的 直线与C分别交于A,B和M,N,则 的范围是 _.ABMNMNAB【解析】设 =t,考虑特殊情况:当AB垂直CP时,MN过C,|AB|最小,|MN|最大,所以t最小=,t最大=.所以t .又因为t+=2,所以t+答案:ABMN2222,22112 ttt3 22,.23 22,21t热点2 函数、方
4、程、不等式之间的转化【典例2】(2016长春二模)已知函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,其中f(x)是f(x)的导函数.对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0,则实数x的取值范围为_.【解析】因为f(x)=x3+3ax-1,所以f(x)=3x2+3a,g(x)=f(x)-ax-5=3x2-ax+3a-5,令(a)=(3-x)a+3x2-5,-1a1.对-1a1,恒有g(x)0,即(a)0,解得-x1.故当x 时,对满足-1a1的一切a的值,都有g(x)0.答案:2210,3xx20,10,3xx80,所以即232(,1)32(,1)3【规律方法】函数、方程与不等
5、式相互转化的应用(1)函数与方程、不等式联系密切,解决方程、不等式的问题需要函数帮助.(2)解决函数的问题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简,一般可将不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范围.【变式训练】1.已知直线l过点A(2,3)且与x轴,y轴的正半轴分别交于M,N两点,则当|AM|AN|最小时,直线l的方程为_.【解析】设AMO为,则 所以 所以|AM|AN|=(0,2)，32AMAN.sincos，61212.sincossin 2 当且仅当sin2=1,即=时取“=”号.此时kl=-1,所以l的方程为x+y-5=0.答案:
6、x+y-5=0 42.(2016洛阳一模)函数f(x)=的值域为_.【解析】因为f(x)的定义域为x0,1,所以设x=sin2 ,则y=sin+cos=sin 1,.答案:1,x1x(0)2 2()4 22热点3 正难则反的转化 【典例3】若对于任意t1,2,函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)上总不为单调函数,则实数m的取值 范围是()m(2)2 1037A.(5,)B.(,5)33C.(5,2)D.(5,)【解析】选B.g(x)=3x2+(m+4)x-2,若g(x)在区间(t,3)上总为单调函数,则g(x)0在(t,3)上恒成立,或g(x)0在(t,3)上恒成立.由得3x2+(m
7、+4)x-20,即m+4 -3x在x(t,3)上恒成立,所以m+4 -3t恒成立,又t1,2,则m+4 -31=-1,即m-5;由得m+4 -3x在x(t,3)上恒成立,则m+4 -9,即m-.2x2t212x23373所以函数g(x)在区间(t,3)上总不为单调函数时m的取 值范围为-m0”是真命题,可得m的取值范围是(-,1),而(-,a)与(-,1)为同一区间,故a=1.0|x1|e2.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中 任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期的概率为_.(结果用最简分数表示)【解析】所取的2瓶中都是不过期的饮料的概率为P=则至少取到1瓶已过保质期的概率 答案：227230CC117145，28P 1P.145 28145