1、考点测试 26 平面向量的概念及线性运算 高考 概览高考在本考点的常考题型为选择题和填空题，分值 5 分，中、低等难度 考纲 研读 1.了解向量的实际背景 2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 3理解向量的几何表示 4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 6了解向量线性运算的性质及其几何意义 一、基础小题 1下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)其中正确的个数是()A2 B3 C4 D5 答案 D 解析 由零向量和相反向量的性质，知均正确 2如图，设 P，Q 两点把线段 AB 三等分，则下列向量表达式
2、错误的是()A.AP13AB BAQ23AB C.BP23AB DAQBP 答案 D 解析 由数乘向量的定义可以得到 A，B，C 都是正确的，只有 D 错误 3向量 a，b，c 在正方形网格中的位置如图所示若向量 ab 与 c 共线，则实数()A2 B1 C1 D2 答案 D 解析 由图可知 2abc，若向量 ab 与 c 共线，则 2.故选 D.4给出下列命题：向量AB的长度与向量BA的长度相等；向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；|a|b|ab|a 与 b 方向相同；若非零向量 a，b 的方向相同或相反，则 ab 与 a，b 之一的方向相同 其中叙述错误的命题的个数为
3、()A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 对于：当 a0 时，不成立；对于：当 a，b 之一为零向量时，不成立；对于：当 ab0 时，ab 的方向是任意的，它可以与 a，b 的方向都不相同故选 C.5在ABCD 中，E 为 AC 上一点，且AC3AE，记ADa，ABb，则BE()A23a13b B13a23b C.43a13b D43a13b 答案 B 解析 如图，BEBAAEAB13ACAB13(ABAD)23AB13AD13a23b.故选B.6已知向量 ae12e2，b2e1e2，则 a2b 与 2ab()A一定共线 B一定不共线 C当且仅当 e1与 e2共线时共线 D当且仅当 e1e2
4、时共线 答案 C 解析 由 a2b5e1，2ab5e2可知，当且仅当 e1与 e2共线时，两向量共线故选 C.7给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；a0(为实数)，则 必为零；，为实数，若 ab，则 a 与 b 共线 其中错误的命题的个数为()A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当 a0 时，不论 为何值，a0；错误，当 0 时，ab0，此时 a 与 b 可以是任意向量所以错误的命题有 3 个，故选 D.8已知向量 a，b 不共线，且 cab，da(21)b，若 c 与 d 反向共线，则实数 的值为()A1 B12 C1
5、或12 D1 或12 答案 B 解析 由于 c 与 d 反向共线，则存在实数 k 使 ckd(k0)，于是 abka(21)b整理得 abka(2kk)b.由于 a，b 不共线，所以有 k，2kk1，整理得 2210，解得 1 或 12.又因为 k0，所以 0，故 12.9设 a0为单位向量，若 a 为平面内的某个向量，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行，则 a|a|a0；若 a 与 a0平行且|a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3 答案 D 解析 向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若 a 与 a0平行，
6、则 a 与 a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是 3.10已知 G 是ABC 的重心，若GCxAByAC，x，yR，则 xy()A1 B1 C13 D13 答案 C 解析 由题意，画图如右：由重心的定义，可知，AG23AD2312(ABAC)13(ABAC)，GCACAGAC13(ABAC)13AB23AC.xy132313.故选 C.11已知 a，b 是不共线的向量，ABab，ACab，R，则 A，B，C 三点共线的充要条件为()A2 B1 C1 D1 答案 D 解析 A，B，C 三点共线，ABAC，设ABmAC(m0)，则 a
7、bm(ab)，a，b 不共线，m，1m，1，故选 D.12已知在四边形 ABCD 中，O 是四边形 ABCD 内一点，OAa，OBb，OCc，ODabc，则四边形 ABCD 的形状为()A梯形 B正方形 C平行四边形 D菱形 答案 C 解析 因为ODabc，所以ADcb，又BCcb，所以ADBC且|AD|BC|，所以四边形 ABCD 是平行四边形故选 C.二、高考小题 13(2018全国卷)在ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则EB()A.34AB14AC B14AB34AC C.34AB14AC D14AB34AC 答案 A 解析 如图，在ABC 中，根据向量的运
8、算法则，可得EBABAEAB12ADAB14(ABAC)34AB14AC，故选 A.14(2015全国卷)设 D 为ABC 所在平面内一点，BC3CD，则()A.AD13AB43AC BAD13AB43AC C.AD43AB13AC DAD43AB13AC 答案 A 解析 ADABBDABBCCDAB43BCAB43(ACAB)13AB43AC.故选 A.15(2015北京高考)在ABC 中，点 M，N 满足AM2MC，BNNC.若MNxAByAC，则x_；y_.答案 12 16 解析 如图在ABC 中，MNMAABBN23ACAB12BC23ACAB12(ACAB)12AB16AC.x12，
9、y16.三、模拟小题 16(2019河北衡水中学一模)如图，在等腰梯形 ABCD 中，DC12AB，BCCDDA，DEAC 于点 E，则DE()A.12AB12AC B12AB12AC C.12AB14AC D12AB14AC 答案 A 解析 由题意得，DE12DA12DC12(DCCA)12DCDC12AC12AB12AC.故选 A.17(2019厦门模拟)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，ABa，ACb，则AD等于()Aa12b B12ab Ca12b D12ab 答案 D 解析 连接 CD.由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB 且CD1
10、2AB12a，所以ADACCDb12a.故选 D.18(2019辽宁丹东五校协作体联考)P 是ABC 所在平面上的一点，满足PAPBPC2AB，若 SABC6，则PAB 的面积为()A2 B3 C4 D8 答案 A 解析 因为PAPBPC2AB2(PBPA)，所以 3PAPBPCCB，所以PACB，且方向相同，所以SABCSPABBCAP|CB|PA|3，所以 SPABSABC3 2.19(2020安阳高三摸底考试)已知平面内一点 P 及ABC，若PAPBPCAB，则点 P与ABC 的位置关系是()A点 P 在线段 AB 上 B点 P 在线段 BC 上 C点 P 在线段 AC 上 D点 P 在
11、ABC 外部 答案 C 解析 由PAPBPCAB，得PAPBPCPBPA，即PC2PA，故点 P 在线段 AC 上 20(2019安徽合肥市高三第二次质检)在ABC 中，BD12DC，则AD()A.14AB34AC B23AB13AC C.13AB23AC D13AB23AC 答案 B 解析 解法一：因为BD12DC，所以 B，D，C 三点共线，且BD13BC，如图，过点 D 分别作 AC，AB 的平行线交 AB，AC 于点 E，F，则四边形 AEDF 为平行四边形，所以ADAEAF.因为BD13BC，所以AE23AB，AF13AC，所以AD23AB13AC，故选 B.解法二：因为BD12DC
12、，所以BD13BC，所以ADABBDAB13BCAB13(ACAB)23AB13AC，故选 B.解法三：因为BD12DC，所以BD13BC，所以ADAB13(ACAB)，所以ADAB13(ACAB)23AB13AC，故选 B.21(2019云南大理高三模拟)如图，A，B 分别是射线 OM，ON 上的点，给出下列向量：OA2OB；12OA13OB；34OA13OB；34OA15OB；34OA15OB.若这些向量均以 O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的有()A B C D 答案 B 解析 在 ON 上取点 C，使得 OC2OB，以 OA，OC 为邻边作平行四边形 OCDA，则ODOA2
13、OB，其终点不在阴影区域内，排除 A，C；取 OA 上一点 E，作 AE14OA，作 EFOB，交 AB 于点 F，则 EF14OB，由于 EF13OB，所以34OA13OB的终点不在阴影区域内，排除 D，故选 B.22(2019陕西渭南高三模拟)给出下列命题：若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；若|a|b|，则 ab 或 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，且ABDC ，则四边形 ABCD 为平行四边形；ab 的充要条件是|a|b|且 ab.其中真命题的序号是_ 答案 解析 是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点是错误的，
14、|a|b|，但 a，b 方向不确定，所以 a，b 的方向不一定相同或相反是正确的，因为ABDC，所以|AB|DC|且ABDC；又 A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形 ABCD 为平行四边形是错误的，当 ab 且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到 ab，所以|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件 23(2020浙江嘉兴高三质量检测)已知 A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点 M 满足A1M(A1A2 A1A3)(是实数)，且MA1 MA2 MA3 是单位向量，则这样的点 M 有_个 答案 2 解析 由题意得，MA1(A1A2 A1A3)，MA2MA
15、1A1A2，MA3MA1A1A3，所以MA1MA2MA3(13)(A1A2 A1A3)，设 D 为 A2A3的中点，则(13)(A1A2 A1A3)为与A1D共起点且共线的一个向量，显然直线 A1D 与以 A1为圆心的单位圆有两个交点，故这样的点 M 有 2 个，即符合题意的点 M 有 2 个 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型 二、模拟大题 1(2019山东德州高三模拟)如图，EF 是等腰梯形 ABCD 的中位线，M，N 是 EF 上的两个三等分点，若ABa，BCb，AB2DC.(1)用 a，b 表示AM；(2)证明 A，M，C 三点共线 解(1)ADABBCCDab12a 12
16、ab，又 E 为 AD 的中点，所以AE12AD14a12b，因为 EF 是梯形的中位线，且AB2DC，所以EF12(ABDC)12a12a 34a.又 M，N 是 EF 的三等分点，所以EM13EF14a，所以AMAEEM14a12b14a12a12b.(2)证明：由(1)知MF23EF12a，所以MCMFFC12a12bAM，又MC与AM有公共点 M，所以 A，M，C 三点共线 2(2019泰安模拟)如图所示，在ABO 中，OC14OA，OD12OB，AD 与 BC 相交于点 M，设OAa，OBb.试用 a 和 b 表示向量OM.解 设OMmanb，则AMOMOAmanba(m1)anb，ADODOA12OBOAa12b.又 A，M，D 三点共线，AM与AD共线 存在实数 t，使得AMtAD，即(m1)anbta12b.(m1)anbta12tb.m1t，nt2，消去 t 得 m12n，即 m2n1.又CMOMOCmanb14am14 anb，CBOBOCb14a14ab.又 C，M，B 三点共线，CM与CB共线 存在实数 t1，使得CMt1CB，m14 anbt114ab，m1414t1，nt1，消去 t1得 4mn1.由得 m17，n37，OM17a37b.