1、上海市青浦一中2018-2019学年高二数学下学期期中试题（含解析）一：选择题。1.直线与平面所成角范围_ 【答案】【解析】【分析】由直线与平面所成角的定义可得.【详解】解：根据直线与平面所成角的定义可得直线与平面所成角的范围为【点睛】本题考查直线和平面所成的角基本概念.2.已知，则_ 【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算法则求出，由此能求出结果.【详解】解：故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的坐标运算法则以及利用坐标求模，熟练掌握向量的坐标运算法则是解决此题的关键.3.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，且，则_【答案】【解析】【分析】由题意可得，根据线面平行可得，则，进而
2、得到，解得即可.【详解】解：由题意可得，则解得【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系，根据线面平行、线面垂直的性质得到平面的法向量与平行于平面的直线垂直，考查了空间向量垂直的坐标表示.4.在正方体中，异面直线与所成的角大小为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，平面，从而得到，即可得到答案.【详解】解：在正方体中，平面，平面异面直线与所成的角的大小为故答案为：.【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，线面垂直的性质定理.5.已知圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则该圆锥的侧面积为_【答案】【解析】【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算即可得出结论.【详解】解：设底面
3、的半径为，则该圆锥的侧面积故答案为：【点睛】本题考查了圆锥的性质和侧面积公式，解决本题的关键是根据勾股定理求得圆锥底面半径.6.二面角为，异面直线、分别垂直于、，则与所成角的大小是_【答案】【解析】【分析】根据二面角的定义，及线面垂直的性质，我们可得若两条直线、分别垂直于、两个平面，则两条直线的夹角和二面角相等或互补，由于已知的二面角为，故异面直线所成角与二面角相等，即可得到答案.【详解】解：根据二面角的定义和线面垂直的性质设异面直线、的夹角为二面角为，异面直线、分别垂直于、则两条直线的夹角和二面角相等或互补，故答案为：【点睛】本题主要考查二面角的定义、异面直线所成的角和线面垂直的性质.7.下
4、列四个结论中假命题的序号是_垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线，满足，则；若直线，是异面直线，则与，都相交的两条直线是异面直线【答案】【解析】【分析】根据空间中线面的位置关系的判定和性质或举反例即可判断.【详解】解：对于，若，则内任意两条直线都与垂直，显然命题是假命题；对于，由平行公理可知命题是真命题；对于，将直线平移到的位置，由于，故而，故命题是真命题；对于，在直线上取点，在直线上取点，则，都与，相交，显然，相交，故命题是假命题.故答案为：【点睛】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系和性质，熟练掌握直线与平面之间的位置关系是解决此题的关键.8.互不重合的三
5、个平面可以把空间分成_个部分【答案】4、6、7、8【解析】分析】将互不重合的三个平面的位置关系分为：三个平面互相平行；三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交；三个平面交于一线；三个平面两两相交且三条交线平行；三个平面两两相交且三条交线交于一点；五种情况分类讨论，即可得到答案.【详解】解：若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行(联想三棱柱三个侧面的关系)，则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点(联想墙角三个墙面的关系
6、)，则可将空间分为8部分；故互不重合的三个平面可以把空间分成4、6、7、8个部分.【点睛】本题以平面分空间的分类讨论为载体，考查了空间中平面与平面之间的位置关系，考查了学生的空间想象能力.9.已知四面体中，分别为，的中点，且异面直线与所成的角为，则_.【答案】1或【解析】【分析】取BD中点O，连结EO、FO，推导出EOFO1，或，由此能求出EF【详解】取BD中点O，连结EO、FO，四面体ABCD中，ABCD2，E、F分别为BC、AD的中点，且异面直线AB与CD所成的角为，EOCD，且EO，FOAB，且FO1，EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，或，当EOF时，EOF是等边三角形，EF1
7、当时，EF故答案为：1或【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题10.设地球半径为，若、两地均位于北纬，且两地所在纬度圈上的弧长为，则、之间的球面距离是_（结果用含有的代数式表示）【答案】【解析】【分析】由题意可得：北纬圈的半径是，并且得到，所以、两地所在的球心角为，即可得出答案.【详解】解：由题意可得：北纬圈的半径是在北纬圈上有、两地，它们在纬度圈上的弧长等于过、两点的小圆的圆心角为，即、两地所在的球心角为、两地间的球面距离为故答案为：.【点睛】本题考查球面距离及相关计算，解决此类问题的关键是熟练掌握球面距离以及解三角
8、形的有关知识，考查学生的计算能力与想象能力.11.已知三棱锥-，若，两两互相垂直，且，D为面上的动点，则 的最小值为_【答案】【解析】【分析】根据题意利用等体积法计算点到平面的距离，即为的最小值.【详解】解：，两两互相垂直，且，点到的距离为的面积为设点到平面的距离为，则即 的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了点、线、面间的距离计算，考查了等体积法.12.已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为_。【答案】【解析】【分析】由题意可得，当截面与正方体体对角线垂直并且平面平移至截面为正六边形时，则截此正方体所得截面的面积最大，即可求出面积最大值.【
9、详解】解：如图，由题可知，截面应与正方体体对角线垂直，当平面平移至截面为六边形时，此时六边形的周长恒等不变，所以当截面为正六边形时，面积最大.【点睛】本题考查了立体图形的截面问题，考查了学生的空间想象能力.二. 选择题。13.已知圆锥的底面半径是，且它的侧面展开图是半圆，则该圆锥的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据侧面展开图计算出圆锥的母线长，由此计算出侧面积，再加上底面积得到圆锥的表面积.【详解】设圆锥母线长为，由于侧面展开图是半圆，故，故侧面积为，底面积为，所以表面积为.故选B.【点睛】本小题主要考查圆锥的侧面展开图有关计算，考查圆锥的表面积计算，属于基
10、础题.14.九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案【详解】根据正六边形的性质，则D1A1ABB1，D1A1AFF1满足题意，而C1，E1，C，D，E，和D1一样，有24=8，当A1ACC1为底面矩形，有4个满足题意，当A1AEE1为底面矩形，有4个满足题意，故有8+4+4=16故选：D【点睛】本题考查了新定义，以及排除组合问题，考查了棱柱的特征，属于中档题15.已知不同的
11、直线，不同的平面，则下列命题正确的是( )若，则；若，则；若，则；若，则.A. B. C. D. 【答案】A【解析】若，则位置关系不定；若，则位置关系不定；正确，选A.16.如图，正方体的棱长为，是线段上的两个动点，且，则下列结论错误的是 （ ）A. B. 直线、所成的角为定值C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】B【解析】在A中，正方体的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且，ACBD，AC，BD=B，AC平面，BF平面，ACBF，故A正确；在B中，异面直线AE、BF所成的角不为定值，由图知，当F与重合时，令上底面顶点为O，则此时两异面直线所成的角是，当E与重合时，此时点F与O重
12、合，则两异面直线所成的角是，此二角不相等，故异面直线AE、BF所成的角不为定值.故B错误在C中，EFBD，BD平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD，故C正确；在D中，AC平面，A到平面BEF的距离不变，B到EF的距离为1，BEF的面积不变，三棱锥A-BEF体积为定值，故D正确；点睛：解决此类题型的关键是结合空间点线面的位置关系一一检验.通过直线AC垂直平面平面BB1D1D，判断A是正确的；通过直线EF垂直于直线AB1，AD1，判断A1C平面AEF是正确的；计算三角形BEF 的面积和A到平面BEF的距离是定值，说明C是正确的；只需找出两个特殊位置，即可判断D是不正确的；综合可得答案三
13、.解答题.解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.如图，在长方体中，已知，为棱的中点（1）求四棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的正切值【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据长方体的性质，点到平面的距离就是，再根据四棱锥的体积公式即可解得.（2）联结，可证得直线与平面所成角就是，根据即可求得.【详解】（1）因为长方体，所以点到平面的距离就是，故四棱锥的体积为（2）联结，因为长方体，且，所以平面，故直线与平面所成角就是，在中，由已知可得， 因此，即直线与平面所成角的正切值为【点睛】本题主要考查了空间几何中四棱锥的体积计算，直线与平面所成的角的计算.18.如
14、图，已知圆锥的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线与所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）根据圆锥的侧面积求出，从而求出，由此能求出圆锥的体积；（2）取中点，连结，由是的中点知，则（或其补角）就是异面直线与所成角，由此能求出异面直线与所成角的大小试题解析：（1）由题意，得， 故 ，从而体积. （2）如图，取中点，连结. 由是的中点知，则（或其补角）就是异面直线与所成角. 由平面 平面 .在中，由得；在中，则，异面直线与所成角的大小 .19. 如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组
15、成的已知半球的直径是6 cm，圆柱筒高为2 cm.（1）这种“浮球”的体积是多少cm3（结果精确到0.1）?（2）要在2 500个这样的“浮球”表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶多少克？【答案】（1） 169.6 （2） 1 200【解析】（1）因为半球的直径是6 cm，所以半径R3 cm，所以两个半球的体积之和为V球R32736（cm3）又圆柱筒的体积为V圆柱R2h9218（cm3）所以这种“浮球”的体积是VV球V圆柱361854169.6（cm3）（2）上下两个半球的表面积是S球表4R24936（cm2），又“浮球”的圆柱筒的侧面积为S圆柱侧2Rh23212（cm2），
16、所以1个“浮球”的表面积为S（m2）因此2 500个这样的“浮球”的表面积为2 500S2 50012（m2）因为每平方米需要涂胶100克，所以共需要胶的质量为100121 200（克）考点：圆柱、球的体积、表面积.20.如图，在正四棱锥中，分别为，的中点（1）求正四棱锥的全面积；（2）若平面与棱交于点，求平面与平面所成锐二面角的大小（用反三角函数值表示）【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的性质，用勾股定理求得侧面三角形的高，进而求得侧面积和底面积，即可得出答案.（2）由题意，可建立空间直角坐标系，分别表示出平面与平面的法向量，求出两个法向量的夹角，即可得出答案.【详解
17、】解：（1）因为正四棱锥，取中点，连接，（2）连接，连接，记，因为，两两互相垂直如图建立空间直角坐标系 因为，所以所以 所以，所以，设平面的法向量为，所以即所以令，所以因为平面平面的一个法向量为设与的夹角为，所以平面与平面所成锐二面角的大小是【点睛】本题主要考查空间几何体中的正四棱锥面积计算，二面角的计算，熟练掌握多面体的性质和求解二面角的方法是解决此类题的关键.21.如图，侧棱垂直底面的三棱柱中，是侧棱上的动点（1）当时，求证：平面；（2）记三棱锥的体积求 的最大值；（3）若二面角的平面角的余弦值为，试求实数的值【答案】(1)见证明；(2) (3)【解析】【分析】（1）证法一：利用线面垂直的
18、判定定理，即证，；证法二：建立空间直角坐标系，证明；证法三：建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用，证明平面；（2）确定点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积转化，求出三棱锥的体积，利用导数的方法，求得最大值；（3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向的法向量，利用向量的夹角公式及二面角的平面角的余弦值为，即可求得结论【详解】（1）证法一：面，又，四边形是正方形，平面，平面又 平面，平面，平面证法二：面，又，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系 则，又，平面，平面证法三：面，又，分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量，由得令，则，平面（2）解：平面，点到平面的距离等于点到平面的距离，于是当时，（3）解：分别以，所在直线为，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量，则,解得，令，则设平面法向量，则由于，所以解得令，则设二面角的平面角为，则有 化简得，解得（舍去）或所以当时，二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识.