1、2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每小题3分，满分36分）1若集合1，2，3=a，b，c，则a+b+c=2若原命题的否命题是“若xN，则xZ”，则原命题的逆否命题是3已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）g（x）=4不等式0的解集是5若a21，则关于x的不等式ax+412x的解集是6已知集合A，B满足，集合A=x|xa，B=x|x2|2，xR，若已知“xA”是“xB”的必要不充分条件，则a的取值范围是7已知函数f（x）满足：f（x1）=2x2x，则函数f（x）=8已知集合A，B满足，集合A=x|x=7k+3，kN，B=x|x=7k4，kZ，则A，
2、B两个集合的关系：AB（横线上填入，或=）9已知集合A，B满足，集合A=x|x+y2=1，yR，B=y|y=x21，xR，则AB=10若函数y=f（x）的定义域是2，2，则函数y=f（x+1）+f（x1）的定义域为11已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为12定义集合运算“*”：AB=（x，y）|xA，yB，称为A，B两个集合的“卡氏积”若A=x|x22|x|0，xN，b=1，2，3，则（ab）（ba）=二、选择题：（每小题4分，满分16分）13下列写法正确的是（）A0B0C0DR14已知函数y=f（x），则集合（x，y）|y=f（x），axb（x，y）|x=2
3、的子集可能有（）A0个B1个C1个或2个D0个或1个15以下结论正确的是（）A若ab且cd，则acbdB若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若0ab，集合A=x|x=，B=x|x=，则AB16有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：AB=的充要条件是card（AB）=card（A）+card（B）AB的必要不充分条件是card（A）card（B）+1AB的充分不必要条件是card（A）card（B）1A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）ABCD三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤
4、，并在规定处答题，否则不得分17已知集合A=x|a+1x2a+3，B=x|x2+7x100（1）已知a=3，求集合（RA）B；（2）若AB，求实数a的范围18对于函数f（x）=ax2+2x2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a0，且x11x2，求a的取值范围；（2）若x11，x21同号，求a的取值范围19某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的
5、函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？20某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x33x，x0，+）的最小值解：利用基本不等式a+b+c3，得到x3+1+13x，于是x33x=x3+1+13x23x3x2=2，当且仅当x=1时，取到最小值2（1）老师请你模仿例题，研究x44x，x0，+）上的最小值；（提示：a+b+c+d4）（2）研究x33x，x0，+）上的最小值；（3）求出当a0时，x3ax，x0，+）的最小值2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每小题3分，满分36分）1若集合1，2，3=a
6、，b，c，则a+b+c=6【考点】集合的相等【分析】利用集合相等的定义求解【解答】解：1，2，3=a，b，c，a+b+c=1+2+3=6故答案为：62若原命题的否命题是“若xN，则xZ”，则原命题的逆否命题是真命题【考点】命题的真假判断与应用；四种命题【分析】原命题的逆否命题和原命题的否命题互为逆命题，进而得到答案【解答】解：若原命题的否命题是“若xN，则xZ”，则原命题的逆否命题是“若xZ，则xN”，是真命题故答案为：真命题3已知函数f（x）=，g（x）=，则f（x）g（x）=，x（3，22，3）【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】根据f（x），g（x）的解析式求出f（x）g（x）的解
7、析式即可【解答】解：f（x）=，g（x）=，f（x）g（x）=，x（3，22，3），故答案为：，x（3，22，3）4不等式0的解集是x|x或x4【考点】其他不等式的解法【分析】原不等式等价于，解不等式组可得【解答】解：不等式0等价于，解得x或x4，不等式0的解集为：x|x或x4故答案为：x|x或x45若a21，则关于x的不等式ax+412x的解集是x|x【考点】其他不等式的解法【分析】确定1a+23，即可解关于x的不等式ax+412x【解答】解：a21，1a1，1a+23，不等式ax+412x化为（a+2）x3，x，关于x的不等式ax+412x的解集是x|x故答案为x|x6已知集合A，B满足，
8、集合A=x|xa，B=x|x2|2，xR，若已知“xA”是“xB”的必要不充分条件，则a的取值范围是（4，+）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】解出关于B的不等式，结合集合的包含关系判断即可【解答】解：A=x|xa，B=x|x2|2，xR=x|0x4，若已知“xA”是“xB”的必要不充分条件，即0，4（，a），故a4，故答案为：（4，+）7已知函数f（x）满足：f（x1）=2x2x，则函数f（x）=2x2+3x+1【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】令x1=t，则x=t+1，将x=t+1代入f（x1），整理替换即可【解答】解：令x1=t，则x=t+1，故f（x1）=f（t
9、）=2（t+1）2（t+1）=2t2+3t+1，故f（x）=2x2+3x+1，故答案为：2x2+3x+18已知集合A，B满足，集合A=x|x=7k+3，kN，B=x|x=7k4，kZ，则A，B两个集合的关系：AB（横线上填入，或=）【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用【分析】根据题意，已知分析两个集合中元素的性质，可得结论【解答】解：根据题意，集合A=x|x=7k+3，kN，表示所有比7的整数倍大3的整数，其最小值为3，B=x|x=7k4，kZ，表示所有比7的整数倍小4的整数，也表示所有比7的整数倍大3的整数，故AB；故答案为：9已知集合A，B满足，集合A=x|x+y2=1，yR，B
10、=y|y=x21，xR，则AB=1，1【考点】交集及其运算【分析】求出集合A，B中函数的值域确定出集合A，B，求出两集合的交集即可【解答】解：由集合A中的函数x+y2=1，得到集合A=（，1，由集合B中的函数y=x211，集合A=1，+），则AB=1，1故答案为：1，110若函数y=f（x）的定义域是2，2，则函数y=f（x+1）+f（x1）的定义域为1，1【考点】函数的定义域及其求法【分析】利用函数的定义域的求法，使函数有意义的x的值求得函数的定义域，再求它们的交集即可【解答】解：函数f（x）的定义域为2，2，解得1x1；函数y=f（x+1）+f（x1）的定义域为：1，1；故答案为：1，11
11、1已知直角三角形两条直角边长分别为a、b，且=1，则三角形面积的最小值为4【考点】基本不等式【分析】根据=1，求出ab的最小值，从而求出三角形面积的最小值即可【解答】解：a0，b0， =1，12，ab8，当且仅当b=2a时“=”成立，故S=ab4，故答案为：412定义集合运算“*”：AB=（x，y）|xA，yB，称为A，B两个集合的“卡氏积”若A=x|x22|x|0，xN，b=1，2，3，则（ab）（ba）=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）【考点】交、并、补集的混合运算【分析】根据新概念的定义，写出ab与ba，再根据交集的定义进行计算即可【解答】解：集合A=x|x22|x|0，x
12、N=x|0|x|2xN=0，1，2，b=1，2，3，所以ab=（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），ba=（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；所以（ab）（ba）=（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）故答案为：（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）二、选择题：（每小题4分，满分16分）13下列写法正确的是（）A0B0C0DR【考点】元素与集合关系的判断【分析】根据空集的定义，空集是指不含有任何元素的集合，结合元素和集合关系、集合和集合关
13、系的判断；由是任何集合的子集，知0【解答】解：元素与集合间的关系是用“”，“”表示，故选项A、D不正确；是不含任何元素的选项C不正确是任何集合的子集故选：B14已知函数y=f（x），则集合（x，y）|y=f（x），axb（x，y）|x=2的子集可能有（）A0个B1个C1个或2个D0个或1个【考点】子集与真子集【分析】当2a，b时，由函数的定义可知，x=2与函数y=f（x）只有一个交点；当2a，b时，x=2与函数y=f（x）没有交点，即可求【解答】解：当2a，b时，由函数的定义可知，对于任意的x=2都有唯一的y与之对应，故x=2与函数y=f（x）只有一个交点，即集合 （x，y）|y=f（x），a
14、xb （x，y）|x=2中含有元素只有一个，当2a，b时，x=2与函数y=f（x）没有交点，综上可得，集合 （x，y）|y=f（x），axb （x，y）|x=2中含有元素的个数为0个或1个故选：D15以下结论正确的是（）A若ab且cd，则acbdB若ac2bc2，则abC若ab，cd，则acbdD若0ab，集合A=x|x=，B=x|x=，则AB【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质【分析】根据不等式的基本性质，及集合包含有关系的定义，逐一分析给定四个答案的真假，可得结论【解答】解：若a=1，b=0，c=1，d=0，则ab且cd，但acbd，故A错误；若ac2bc2，则c20，则ab，故
15、B正确；若ab，cd，则acbd，故C错误；若0ab，集合A=x|x=，B=x|x=，则A与B不存在包含关系，故D错误；故选：B16有限集合S中元素的个数记做card（S），设A，B都为有限集合，给出下列命题：AB=的充要条件是card（AB）=card（A）+card（B）AB的必要不充分条件是card（A）card（B）+1AB的充分不必要条件是card（A）card（B）1A=B的充要条件是card（A）=card（B）其中，真命题有（）ABCD【考点】集合中元素个数的最值【分析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查集合的元素个数，体现两个集合的关系，但
16、仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，比如第四个句子元素个数相等，元素不一定相同【解答】解：AB=集合A与集合B没有公共元素，正确；AB集合A中的元素都是集合B中的元素，正确；AB集合A中至少有一个元素不是集合B中的元素，因此A中元素的个数有可能多于B中元素的个数，错误；A=B集合A中的元素与集合B中的元素完全相同，两个集合的元素个数相同，并不意味着它们的元素相同，错误故选B三、解答题（本大题共4小题，满分48分）解答下列各题要有必要的解题步骤，并在规定处答题，否则不得分17已知集合A=x|a+1x2a+3，B=x|x2+7x100（1）已知a=3，求集合（RA）B；（2）若AB，求实数a的范围
17、【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简集合B，（1）计算a=3时集合A，根据补集与交集的定义；（2）AB时，得出关于a的不等式，求出实数a的取值范围【解答】解：集合A=x|a+1x2a+3，B=x|x2+7x100=x|x27x+100=x|2x5；（1）当a=3时，A=x|4x9，RA=x|x4或x9，集合（RA）B=x|2x4；（2）当AB时，a+12或2a+35，解得a1或a1，所以实数a的取值范围是a118对于函数f（x）=ax2+2x2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2（1）若a0，且x11x2，求a的取值范围；（2）若x11，x21同号，求a的取值范围【考点】一元二次
18、不等式的解法【分析】（1）a0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）0，求出a的取值范围即可；（2）根据x11，x21同号得出（x11）（x21）0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围【解答】解：函数f（x）=ax2+2x2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；（1）当a0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x11x2，f（1）=a+22a0，解得a2，a的取值范围是a2；（2）若x11，x21同号，则（x11）（x21）0，x1x2（x1+x2）+10；又x1x2=2，x1+x2=，2（）+10，解得0a2；又=44a（2a）0，解得aR；综上，实数a的
19、取值范围是0a219某地区山体大面积滑坡，政府准备调运一批赈灾物资共装26辆车，从某市出发以v（km/h）的速度匀速直达灾区，如果两地公路长400km，且为了防止山体再次坍塌，每两辆车的间距保持在（）2km（车长忽略不计）设物资全部运抵灾区的时间为y小时，请建立y关于每车平均时速v（km/h）的函数关系式，并求出车辆速度为多少千米/小时，物资能最快送到灾区？【考点】函数模型的选择与应用【分析】由题意可知，y相当于：最后一辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，即可得到函数的解析式，利用基本不等式，即可得出结论【解答】解：设全部物资到达灾区所需时间为t小时，由题意可知，y相当于：最后一
20、辆车行驶了25个（）2km+400km所用的时间，因此y=+，因为y=+2=10，当且仅当，即v=80时取“=”故这些汽车以80km/h的速度匀速行驶时，物资能最快送到灾区20某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求x33x，x0，+）的最小值解：利用基本不等式a+b+c3，得到x3+1+13x，于是x33x=x3+1+13x23x3x2=2，当且仅当x=1时，取到最小值2（1）老师请你模仿例题，研究x44x，x0，+）上的最小值；（提示：a+b+c+d4）（2）研究x33x，x0，+）上的最小值；（3）求出当a0时，x3ax，x0，+）的最小值【考点】基本不等式【分析】（1）根据新定义可得x44x=x4+1+1+14x3，解得即可，（2）根据新定义可得x33x=x3+3+33x6，解得即可，（3）根据新定义可得x3ax=x3+ax，解得即可【解答】解：（1）x44x=x4+1+1+14x34x4x3=3，当且仅当x=1时，取到最小值3，（2）x33x=x3+3+33x63x3x6=6，当且仅当x=3时，取到最小值6，（3）x3ax=x3+axaxax=，当且仅当x=时，取到最小值2016年12月29日
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