1、15.3 微积分基本定理学习目标1.了解微积分定理的含义，了解导数与定积分的关系2能正确运用微积分基本定理计算简单的定积分课前自主学案 温故夯基 曲边梯形的面积，一般转化为定积分：(1)由三条直线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积S_(如图(1)所示)(2)由三条直线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积S _f(x)dx(如图(2)所示)baf(x)dxbaf(x)dx(3)由两条直线xa，xb(ab)，两条曲线yf(x)，yg(x)(f(x)g(x)，围成的曲边梯形的面积S_(如图(3)所示)(4)由三条直
2、线xa，xb(ab)，x轴，一条曲线 y f(x)围 成 的 曲 边 梯 形 的 面 积 S _(如图(4)所示)baf(x)g(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx知新益能 1一般地，如果 f(x)是区间a，b上的连续函数，并且 F(x)f(x)，那么baf(x)dx_，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼茨公式2为了方便，我们常常把 F(b)F(a)记成_，即baf(x)dx_3如果变速直线运动物体的速度 vv(t)(v(t)0)，那么从时刻 ta 到 tb 所经过的路程为 Sbav(t)dt.F(b)F(a)F(b)F(a)F(x)|baF(x)|ba你能总结出几条定积分的运算
3、性质？问题探究 提示：由定积分的定义，可以得到定积分的如下运算性质：(1)bakf(x)dxkbaf(x)dx(k 为常数)；(2)baf1(x)f2(x)dxbaf1(x)dxbaf2(x)dx；(3)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx(其中 ac0，求11f(x)dx.【规范解答】21x1x 1x2 dx21xdx211xdx211x2dx12x221lnx211x2112(41)ln2ln11211ln2.7 分(2)11f(x)dx01x2dx10(cosx1)dx13x301(sinxx)10sin123.14 分【名师点评】求函数f(x)的原函数时，要正确运用求导运算
4、和求原函数运算互为逆运算的关系，求复杂函数的定积分时要先化简，再依据定积分的性质进行计算 变式训练 1(1)求定积分0(cosxex)dx；(2)设函数 f(x)x3，x0，1x，x1，22x，x2，3，求30f(x)dx.解：(1)0(cosxex)dx0cosxdx0exdxsinx0ex|011e.(2)30f(x)dx10f(x)dx21f(x)dx32f(x)dx10 x3dx21 xdx322xdxx441023x3221 2xln 2321443 223 8ln 2 4ln 2 51243 2 4ln 2.求由曲线 y14x2，x0,3，x0 及 y214所围成的平面图形的面积(
5、如图所示的阴影部分)定积分在几何中的应用解决此类问题首先作出曲线示意图，借助几何直观，将曲线所围面积转化为定积分进行计算例2【思路点拨】确定积分变量时，要注意图形特征，尽量使被积函数简单【解】法一：由题意可知阴影部分面积 S 为矩形面积减去由 yx24 和 x0，x3，y0 所围成的曲边梯形面积 S1，又 S130 x24 dx1413x3|3094，所以 S3949492.【名师点评】根据图形的特征，选择不同的积分变量，可以使计算简便，在以y为积分变量时，注意将曲线方程变为(y)的形式，同时积分的上下限必须对应于y的取值 法二：阴影部分面积 S 可以看成将 y 作为积分变量时曲边梯形的面积，
6、则 S9402 ydy43y32|94092.变式训练 2(2011 年高考课标全国卷改编)由曲线 y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为_解析：由y xyx2，得其交点坐标为(4,2)，因此y x，直线 yx2 及 y 轴所围成的图形的面积为40 xx2 dx40(xx2)dx23x3212x22x 40238121624163.答案：163方法感悟 1计算定积分是本节最重要的题型，同学们要熟练掌握一些比较简单的定积分的计算问题，绝大部分的定积分计算都是利用微积分基本定理进行的，但也有少量的定积分是利用定积分的几何意义，即通过求面积来计算定积分2利用微积分基本定理计算定积分baf(x)dx 的关键是找到满足 F(x)f(x)的函数 F(x)通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出 F(x)3一般来说，利用定积分求平面图形面积的基本步骤如下：(1)根据已知条件作出区域草图；(2)通过图形直接判断或解联立方程组，求出曲线交点，确定积分上限和下限；(3)确定被积函数；(4)根据图形的形状用定积分计算所求区域的面积