1、专题检测(七) 三角恒等变换与解三角形A组“633”考点落实练一、选择题1.(2019开封市定位考试)已知cos,则cos 2的值为()A.B.C. D.解析:选B因为cos,所以sin ,所以cos 212,故选B.2.(2019长春市质量监测一)函数f(x)sinsin x的最大值为()A. B.2C.2 D.4解析:选A法一:由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos xsin,所以函数的最大值为,故选A.法二:由已知得f(x)sin xcos xsin xsin xcos x,故函数的最大值为 ,故选A.3.(2019长春市质量监测一)在ABC中,内角A,B,C的对
2、边分别为a,b,c,若bacos Cc,则角A等于()A.60 B.120C.45 D.135解析:选A由bacos Cc及余弦定理,可得bac,即2b2b2a2c2bc,整理得b2c2a2bc,于是cos A,又0A,所以A60,故选A.4.(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ba,a2,c,则角C()A. B.C. D.解析:选D由ba,得sin Bsin A.因为sin Bsin(AC)sin(AC),所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0),cos Asin A,所以tan A.因为
3、0A,所以A.由正弦定理,得sin C.因为0C,所以C.故选D.5.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos A,则ABC为()A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.等边三角形解析:选A根据正弦定理得cos A,即sin Csin Bcos A.ABC,sin Csin(AB)sin Bcos A,整理得sin Acos B0,cos B0,B,ABC为钝角三角形.6.(2018南昌一模)已知台风中心位于城市A东偏北(为锐角)的150千米处,以v千米/时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北(为锐角)的200千米处,若cos cos ,则v()A.6
4、0 B.80C.100 D.125解析:选C如图,台风中心为B,2.5小时后到达点C,则在ABC中,ABsin ACsin ,即sin sin ,又cos cos ,sin2cos2sin2cos21sin2cos2,sin cos ,sin ,cos ,sin ,cos ,cos()cos cos sin sin 0,BC2AB2AC2,(2.5v)215022002,解得v100,故选C.二、填空题7.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b6,a2c,B,则ABC的面积为_.解析:由余弦定理得b2a2c22accosB.又 b6,a2c,B, 364c2c22
5、2c2, c2,a4, SABCacsin B426.答案:68.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A,2sin Asin B,且b6,则c_.解析:由余弦定理得a2b2c22bcb2c2bc,又2sin Asin B,由正弦定理可得,即a2b24c20,则b2c2bcb24c20.又b6,c22c240,解得c4(负值舍去).答案:49.(2019洛阳市统考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列,且tan B,则的值是_.解析:a,b,c成等比数列,b2ac,由正弦定理得sin2Bsin Asin C,tan B,sin B,. 答案:三、
6、解答题10.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.(1)求cos ADB;(2)若DC2,求BC.解:(1)在ABD中,由正弦定理得,即,所以sin ADB.由题设知,ADB90,所以cos ADB .(2)由题设及(1)知,cos BDCsin ADB.在BCD中,由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcos BDC25825225,所以BC5.11.(2019重庆市学业质量调研)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知ABC的面积为accos B,且sin A3sin C.(1)求角B的大小;(2)若c2,AC的中点为D,求BD的长.解
7、:(1)SABCacsin Baccos B,tan B.又0B,B60.(2)sin A3sin C,由正弦定理得,a3c,a6.由余弦定理得b26222226cos 6028,b2.cos A.D是AC的中点,AD.BD2AB2AD22ABADcos A22()22213.BD.12.(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A;(2)若ab2c,求sin C.解:(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C,故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180,
8、所以A60.(2)由(1)知B120C,由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C,即cos Csin C2sin C,可得cos(C60).因为0C120,所以sin(C60),故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.B组大题专攻强化练1.(2019江西七校第一次联考)在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且a2(bc)2bc.(1)求角A的大小;(2)若f(x)sin(2xA),将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后又向上平移了2个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的解析式及单调递减区间.解:(
9、1)a2(bc)2bc,a2b2c2bc,cos A,又0A,A.(2)f(x)sin,g(x)sin2,令2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,故函数g(x)的单调递减区间为,kZ.2.已知在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin Acos Ccsin Acos Abcos A0.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面积为4,且b,a,c成等差数列,求ABC的内切圆的半径.解:(1)由asin Acos Ccsin Acos Abcos A0,可知sin A(sin Acos Ccos Asin C)sin Bcos A,sin Asin(AC)sin Bcos A,s
10、in(AC)sin B,sin Asin Bsin Bcos A,sin B0,sin Acos A,tan A,又A(0,),A.(2)由题意可知SABCbcsin Abc4,bc16,又a2b2c22bccos A,a2(bc)23bc,又b,a,c成等差数列,a24a248,a4,bc2a8,ABC的周长为abc12,设ABC内切圆的半径为r,则r(abc)SABC,即r124,r.3.(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin2Bsin2Asin2Csin Asin C.(1)求B的大小;(2)求sin Acos C的取值范围.解:(
11、1)锐角三角形ABC中,sin2Bsin2Asin2Csin Asin C,故b2a2c2ac,cos B,又B,所以B.(2)由(1)知,CA,故sin Acos Csin Acossin Acos Asin.又A,CA,所以A,A,sin,故sin Acos C的取值范围为.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)如图,在平面四边形ABCD中,ABC为锐角,ADBD,AC平分BAD,BC2,BD3,BCD的面积S.(1)求CD;(2)求ABC.解:(1)在BCD中,SBDBCsinCBD,BC2,BD3,sinCBD.ABC为锐角,CBD30.在BCD中,由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9,CD3.(2)在BCD中,由正弦定理得,即,解得sinBDC.BCBD,BDC为锐角,cosBDC.在ACD中,由正弦定理得,即.在ABC中,由正弦定理得,即.AC平分BAD,CADBAC.由得,解得sinABC.ABC为锐角,ABC45.