1、2012年高考数学二轮复习同步练习：专题2函数、导数及其应用 第4讲 导数及其应用 一、选择题1若函数f(x)ax4bx2c满足f (1)2，则f (1)()A1 B2C2 D0答案B解析f (x)4ax32bx，f (1)4a2b2，f (1)4a2b(4a2b)2要善于观察，故选B.2(2011江西文，4)曲线yex在点A(0,1)处得切线斜率为()A1 B. 2Ce D.答案A解析y(ex)ex，所以ke01.3(2011重庆文，3)曲线yx33x2在点(1,2)处的切线方程为()Ay3x1 By3x5Cy3x5 Dy2x答案A解析y3x26x在(1,2)处的切线的斜率k363，切线方程
2、为y23(x1)即y3x1.4(2010山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()A13万件 B11万件C9万件 D7万件答案C解析本题考查了导数的应用及求导运算，x0，yx281(9x)(9x)，令y0得x9，x(0,9)时，y0，x(0，)时，yf(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是()Aaf(a)bf(b) Baf(a)bf(b)Caf(b)bf(a)答案A解析令F(x)xf(x)，则F(x)xf (x)f(x)，由xf (x)f(x)，得：xf (x)f
3、(x)0，即F(x)0，所以F(x)在R上为递增函数因为ab，所以af(a)bf(b)故选A.7(2011江苏盐城)函数f(x)x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是()A0a1 B1a1C0a D0a0，令f (x)0，得x1，x2.则(0,1)，0a0，2ab0，f(1)0)的一条切线，则实数b_.答案ln21解析(lnx)，令，得x2，切点(2，ln2)代入切线方程，得bln21.10(2011山东烟台)曲线y2x4上的点到直线yx1的距离的最小值为_答案解析设直线l平行于直线yx1，且与曲线y2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d即为点P到直线yx1的距离，对于y
4、2x4，y8x3，则y|xx08x1.x0，y0，d.11(苏北四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)0，0(x0)，则不等式x2f(x)0的解集是_答案(1,0)(1，)解析设F(x)，则当x0时，F(x)0，F(x)在(0，)上为增函数，且F(1)f(1)0.当x1时，F(x)0，则有f(x)0，当0x1时，F(x)0，则有f(x)0.又f(x)是R上的奇函数，当1x0，当x1时有f(x)0的解集是(1,0)(1，)12(文)(2011银川二模)已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由题可知f(1)12，f(1)
5、k，所以f(1)f(1)3.(理)(2011浙江五校联考)已知函数f(x)的导函数f(x)2x9，且f(0)的值为整数，当xn，n1(nN*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，则n_.答案4解析由题可设f(x)x29xc(cR)，又f(0)的值为整数即c为整数，f(n)n29nc为整数，f(n1)(n1)29(n1)cn27nc8为整数，又xn，n1(nN*)时，f(x)所有可能取的整数值有且只有1个，n27nc8n29nc，即n4.三、解答题13已知曲线yx3.(1)求曲线在点(1,1)处的切线方程；(2)求过点(1,0)与曲线相切的直线方程；(3)求过点(1,1)与曲线相切的直线
6、方程解析(1)yx3，yf (x)3x2，且点(1,1)在曲线上，f (1)3123，即所求切线的斜率k3.切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)曲线yx3，yf (x)3x2.显然点(1,0)不在曲线yx3上 ，设切点坐标为(x0，x)， 所求直线的斜率kf (x0)3x故所求直线方程为yx3x(xx0)又因为该直线过点(1,0)，代入得，0x3x(1x0)，x(2x03)0，x00，或x0.当x00时，k3x0，此时所求直线方程为y0；当x0时，k3x，此时所求直线方程为y(x1)，即27x4y270.所求直线方程为y0，或27x4y270.(3)由(2)知，所求直线方程为yx3x
7、(xx0)又直线过点(1,1)，1x3x(1x0)，整理得(x01)2(2x01)0，x01，或x0.当x01时，k3，此时所求直线方程为y13(x1)，即3xy20；当x0时，k，此时所求直线方程为y1(x1)，即3x4y10.所求直线的方程为3xy20，或3x4y10.14(文)(2011重庆文，19)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解析(1)f(x)2x3ax2bx1f(x)6x22axb由题意知，a3.又f(1)0，6122ab0，66b0，b12.a3，b12.(2)由
8、(1)知a3，b12.f(x)6x26x126(x2x2)6(x2)(x1)令f(x)0，得x12，x21.f(x)、f(x)随x变化如下表x(，2)2(2,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，f(x)取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.(理)(2011重庆理，18)设f(x)x3ax2bx1的导数f(x)满足f(1)2a，f(2)b，其中常数a，bR.(1)求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)设g(x)f(x)ex，求函数g(x)的极值解析(1)因f(x)x3ax2bx1，故f(x)3x22axb，令x1，得f(1)32ab，由已知f(
9、1)2a，因此32ab2a，解得b3.又令x2，得f(2)124ab，由已知f(2)b，因此124abb，解得a.因此f(x)x3x23x1，从而f(1).又因为f(1)2()3，故曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y()3(x1)，即6x2y10.(2)由(1)知g(x)(3x23x3)ex，从而有g(x)(3x29x)ex.令g(x)0，得3x29x0，解得x10，x23.当x(，0)时，g(x)0，故g(x)在(0,3)上为增函数；当x(3，)时，g(x)0，故g(x)在(3，)上为减函数；从而函数g(x)在x10处取得极小值g(0)3，在x23处取得极大值g(3)15e3.
10、15(2011江苏，17)请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解析设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，由已知得ax，h(30x)，0x0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.