1、第二节空间图形的基本关系与公理最新考纲1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题1空间图形的公理(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线
2、a，b的平行线l1，l2(al1，bl2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角范围：.(3)定理(等角定理)空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)空间中直线与平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点直线a在平面内a有无数个公共点直线在平面外直线a与平面平行a没有公共点直线a与平面斜交aA有且只有一个公共点直线a与平面垂直a(2)空间中两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点两平面平行没有公共点两平面相交斜交l有一条公共直线垂直且a1异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点
3、的直线互为异面直线2等角定理的引申(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补3唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4
4、)没有公共点的两条直线是异面直线()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1下列命题正确的是()A经过三点确定一个平面B经过一条直线和一个点确定一个平面C四边形确定一个平面D两两相交且不共点的三条直线确定一个平面D根据确定平面的公理和推论知选项D正确2若直线a不平行于平面，且a，则下列结论成立的是()A平面内的所有直线与a异面B平面内不存在与a平行的直线C平面内存在唯一的直线与a平行D平面内的直线与a都相交B由题意知直线a与平面相交，则平面内不存在与a平行的直线，故选B.3.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()
5、A30B45C60D90C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.4如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形(1)ACBD(2)ACBD且ACBD (1)若四边形EFGH为菱形，则EFEH，EFAC，EHBD，ACBD.(2)若四边形EFGH为正方形，则EFEH且EFEH，EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.考点1平面基本性质的应用共点、共线、共面问题的证明方法(1)证明点共
6、线问题：公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上；同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点(3)证明点、直线共面问题：纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合 (1)以下命题中，正确命题的个数是()不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
7、；依次首尾相接的四条线段必共面A0B1C2D3(2)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：E，C，D1，F四点共面；CE，D1F，DA三线共点(1)B正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故错误；中，直线b，c可能是异面直线，故错误；中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故错误(2)证明如图，连接EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面EFCD1，EFCD1，CE与D
8、1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点证明两条直线平行比证明两条直线相交容易，因此证明四点共面问题时，一般是证明四点所在的两条直线平行1.如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是 ()ABCDD根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面故选D.2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明如图，
9、连接BD，B1D1，则BDACO，因为BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，因为平面ACD1平面BB1D1DOD1，所以HOD1.即D1，H，O三点共线考点2空间两条直线的位置关系 (1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c，给出下列命题：若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac.其中真命题有_(填序号)(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)(1)(2)(1
10、)对于，若c与a，b都不相交，则ca，cb，从而ab，这与a与b是异面直线矛盾，故正确对于，a与b可能异面垂直，故错误对于，由ab可知a，又c，从而ac，故正确(2)图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG(图略)，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图中，GH与MN异面一些否定性命题不易判断，可从其反面入手反面成立，则此命题是假命题如本例T(1)，T(2)教师备选例题如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，则EF与B
11、D1的位置关系是()A相交但不垂直B相交且垂直C异面D平行D连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且，所以，所以EFBD1，故选D.1.下列结论中正确的是 ()在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内；一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.ABCDB错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；显然正确；错，若一条直线和两条平行直线中
12、的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；由平行直线的传递性可知正确故选B.2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确结论的序号为_直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线考点3两条异面直线所成的角平移法求异面直线所成角的步骤平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(
13、2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移(一作)证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角(二证)计算在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之(三计算)取舍因为异面直线所成角的取值范围是090，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角(四取舍) (1)(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A.B. C.D.(2)(2019成都模拟)在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，则异面直线AC与BD所
14、成角的余弦值为()ABCD(1)C(2)A(1)如图，连接BE，因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以tanEAB.故选C.(2)如图，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，EG，OG，FO，FG，则EFBD，EGAC，所以FEG为异面直线AC与BD所成的角易知FOAB，因为AB平面BCD，所以FO平面BCD，所以FOOG，设AB2a，则EGEFa，FGa，所以FEG60，所以异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.平移
15、法作异面直线所成的角时，利用平行四边形或三角形的中位线是常用的方法1.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BC1，BB11，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于()A30B45C60D90C取CD的中点Q，连接BQ，C1Q，P是AB的中点，BQPD，C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角在C1BQ中，C1BBQC1Q，C1BQ60，即异面直线BC1与PD所成的角等于60，故选C.2(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.C将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .故选C.
