1、7.2.2复数的乘、除运算学 习 目 标核 心 素 养1.掌握复数的乘法和除法运算(重点、难点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(易混点)1.通过学习复数乘法的运算律，培养逻辑推理的素养2借助复数的乘除运算，提升数学运算的素养.两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？怎样规定两个复数的乘除运算， 才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定相容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？问题：(1)多项式(ab)(cd)的运算结果是什么？(2)复数(abi)(cdi)的运算结果是什么？1复数的
2、乘法法则(1)复数代数形式的乘法法则已知z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.思考1：复数的乘法与多项式的乘法有何不同？提示复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成1，再把实部、虚部分别合并(2)复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3思考2：|z|2z2，正确吗？提示不正确例如，|i|21，而i21.2复数的除法法则(abi)(cdi)i(a，b，c，dR，且cdi0)1思考辨析(正确的
3、画“”，错误的画“”)(1)实数不存在共轭复数()(2)两个共轭复数的差为纯虚数() (3)若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()答案(1)(2)(3)2复数(32i)i等于()A23iB23iC23iD23iB(32i)i3i2ii23i，选B3已知i是虚数单位，则()A12iB2iC2iD12iD12i.4已知复数(a2i)(1i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是_2(a2i)(1i)aai2i2i2a2(a2)i，其实部为0，a20，a2.复数代数形式的乘法运算【例1】(1)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A(，1)B(，1)
4、C(1，)D(1，)(2)计算：(12i)(34i)(2i)；(34i)(34i)；(1i)2.(1)Bz(1i)(ai)(a1)(1a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a1 ，故选B(2)解(12i)(34i)(2i)(112i)(2i)2015i.(34i)(34i)32(4i)29(16)25.(1i)212ii22i.1两个复数代数形式乘法的一般方法复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等2常用公式(1)(abi)2a22abib2(a，bR)；(2)(abi)(abi)a2b2(a，bR)；(3)(1i)22i.1(
5、1)下列各式的运算结果为纯虚数的是()Ai(1i)2Bi2(1i)C(1i)2Di(1i)(2)复数z(12i)(3i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_(1)C(2)5(1)A项，i(1i)2i(12ii2)i2i2，不是纯虚数B项，i2(1i)(1i)1i，不是纯虚数C项，(1i)212ii22i，是纯虚数D项，i(1i)ii21i，不是纯虚数故选C(2)(12i)(3i)3i6i2i255i，所以z的实部是5.复数代数形式的除法运算【例2】(1)()A12iB12iC2iD2i(2)若复数z满足z(2i)117i(i是虚数单位)，则z为()A35iB35iC35iD35i(1)D(2)A
6、(1)2i.(2)z(2i)117i，z35i.1两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式2常用公式(1)i；(2)i；(3)i.2.(1)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(2)计算：.(1)B由复数的几何意义知，z12i，z2i，所以12i，对应的点在第二象限(2)解法一：(1)41.法二：因为i，所以i81.在复数范围内解方程【例3】在复数范围内解下列方程(1)x250；(2)x24x60.
7、解(1)因为x250，所以x25，又因为(i)2(i)25，所以xi，所以方程x250的根为i.(2)法一：因为x24x60，所以(x2)22，因为(i)2(i)22，所以x2i或x2i，即x2i或x2i，所以方程x24x60的根为x2i.法二：由x24x60知424680，所以方程x24x60无实数根在复数范围内，设方程x24x60的根为xabi(a，bR且b0)，则(abi)24(abi)60，所以a22abib24a4bi60，整理得(a2b24a6)(2ab4b)i0，所以又因为b0，所以解得a2，b.所以x2i，即方程x24x60的根为x2i.在复数范围内，实系数一元二次方程ax2b
8、xc0(a0)的求解方法(1)求根公式法当0时，x.当0时，x.(2)利用复数相等的定义求解,设方程的根为xmni(m，nR)，将此代入方程ax2bxc0(a0)，化简后利用复数相等的定义求解.3在复数范围内解方程2x23x40.解因为b24ac32424932230，所以方程2x23x40的根为x.复数运算的综合问题探究问题1若z，则z是什么数？这个性质有什么作用？提示zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数2若z0且z0，则z 是什么数？这个性质有什么作用？提示z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数3三个实数|z|，|，z具有怎样的关系？提示设zabi(a，bR)，
9、则abi，所以|z|，|，z(abi)(abi)a2(bi)2a2b2，所以|z|2|2z.【例4】(1)已知复数z，是z的共轭复数，则z等于()ABC1D2(2)已知复数z满足|z|，且(12i)z是实数，求.思路探究可以先设复数的代数形式，再利用复数的运算性质求解；也可以利用共轭复数的性质求解(1)A法一：z，z.法二：z，|z|，z.(2)解设zabi(a，bR)，则(12i)z(12i)(abi)(a2b)(b2a)i.又因为(12i)z是实数，所以b2a0，即b2a，又|z|，所以a2b25.解得a1，b2.所以z12i或12i，所以12i或12i，即(12i)1在题设(1)条件不变
10、的情况下，求.解由例题(1)的解析可知z，z，i.2把题设(2)的条件“(12i)z是实数”换成“(12i)z是纯虚数”，求.解设zabi，则abi，由例题(2)的解可知a2b，由|z|，得b1，a2；或 b1，a2.所以2i，或2i.1由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数2注意共轭复数的简单性质的运用一、知识必备记住几个常用结论(1)i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)(2)(1i)22i.(3)若zz是实数；若z0，z0，则z是纯虚数；z|2|z|2.二、方法必备1复数代数形式的乘法运算类似于多
11、项式的乘法，同时注意i21的应用. 2复数代数形式的除法运算采用了分母实数化的思想，即应用z|z|2解题1复数的虚部是()A1BiCiD1D复数1i，复数的虚部是1.2mR，i为虚数单位，若(mi)(23i)5i，则m的值为()A1B1 C2D2A由(mi)(23i)(2m3)(23m)i5i，得解得m1.3已知复数z2i，则z的值为()A5 B C3 DAz(2i)(2i)22i2415.4若复数z满足z(1i)2i(i为虚数单位)，则|z|()A1B2 C DC因为z(1i)2i，所以z1i，故|z|.5(一题两空)已知复数z1(1i)(1bi)，z2，其中a，bR.若z1与z2互为共轭复数，则a_，b_.21z1(1i)(1bi)1biib(b1)(1b)i, z2i.由于z1和z2互为共轭复数，所以有解得