1、第九章解析几何第六节双曲线A级基础过关|固根基|1.(2019届河北九校第二次联考)已知双曲线的方程为1，则下列关于双曲线说法正确的是()A虚轴长为4B焦距为2C离心率为D渐近线方程为2x3y0解析：选D由题意知，双曲线1的焦点在y轴上，且a24，b29，故c213，所以选项A、B不对；离心率e，所以选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确故选D2(2019届福建省质检)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2x解析：选D设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则由题意，得c.双曲线C的渐近线方程为yx，即bxay0，
2、所以2.又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以双曲线C的渐近线方程为y2x，故选D3(2019届江西省八所重点中学联考)已知点P(3，)为双曲线y21(a0)上一点，则它的离心率为()ABCD2解析：选B由双曲线y21(a0)可得b21.根据点P(3，)在双曲线上可得21，解得a23，e211，解得e，故选B4(2020届惠州调研)设双曲线的一条渐近线为直线y2x，一个焦点与抛物线y24x的焦点相同，则此双曲线的方程为()Ax25y21B5y2x21C5x2y21Dy25x21解析：选C抛物线y24x的焦点为(1，0)，则双曲线的一个焦点为(1，0)，设双曲线的方程为1(a0，b0)，由题
3、意可得解得所以双曲线的方程为5x2y21，故选C5已知双曲线1(a0，b0)的离心率为2，过右焦点F向两条渐近线作垂线，垂足分别为M，N，若四边形OMFN的面积为，其中O为坐标原点，则该双曲线的焦距为()A2BC3D4解析：选D由双曲线的离心率为2可得，4，又a2b2c2，所以.因为F(c，0)到渐近线yx的距离d|FM|FN|b，所以|OM|ON|a，故S四边形OMFN2SOMF2ab，得ab.又，所以a1，b，得c2，故该双曲线的焦距为2c4.6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，抛物线D：x22py(p0)的准线方程为y，若点P(m，1)是抛物线D与双曲线C的一个公共点，则双曲线C
4、的标准方程为()A1By21Cy21D1解析：选B由已知可得，e2，所以a29b2，即ba.由抛物线D：x22py(p0)的准线方程为y，得，解得p9，所以抛物线D的方程为x218y.由点P(m，1)在抛物线D上，得m218，解得m3.又点P(m，1)在双曲线C上，可得解得故双曲线C的标准方程为y21.故选B7(2019届潍坊市高三统一考试)已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1BC2D2解析：选C由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23.又e2，所以a1，所以该双曲线的实轴的长为2a2.8(2020届大同
5、调研)已知F1，F2是双曲线M：1的焦点，yx是双曲线M的一条渐近线，离心率等于的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则|PF1|PF2|()A8B6C10D12解析：选D由M的一条渐近线方程为yx，得，解得m25，所以M的半焦距c3.因为椭圆E与双曲线M的焦点相同，椭圆E的离心率e，所以E的长半轴长a4.不妨设|PF1|PF2|，根据椭圆与双曲线的定义有|PF1|PF2|8，|PF1|PF2|4，解得|PF1|6，|PF2|2，所以|PF1|PF2|12，故选D9(2019届洛阳市高三第一次联考)设双曲线C：1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M
6、，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为()ABCD无法确定解析：选B在双曲线C：1中，a4，b3，c5，右焦点F(5，0)，渐近线方程为yx.不妨设M在直线yx上，N在直线yx上，则直线MF的斜率为，其方程为y(x5)，设M，代入直线MF的方程，得t(t5)，解得t，即M.由对称性可得N，所以直线MN的方程为x.设P(m，n)，则d，1，即n2(m216)，则|PF|5m16|，故，故选B10(2019届郑州市第一次质量预测)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|M
7、N|MF2|的最小值为()A8B9C10D11解析：选B由题意，知2a6，则a3，又由，得b1，所以c，则F1(，0)根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|MF1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，故选B11(2019届昆明市高三诊断测试)已知点P(1，)在双曲线C：1(a0，b0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点，若FPO90，则双曲线C的方程为_解析：设双曲线的一条渐近线方程为yx，由渐近线过点P(1，)，得，且|OP|2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|b，在RtOPF中，|OF|2|OP|2|PF|2，即c222b2.又c
8、2a2b2，所以a2，b2，所以双曲线C的方程为1.答案：112已知双曲线1(a0，b0)的离心率的取值范围是(1，2，其左、右焦点分别为F1，F2，若M是该双曲线右支上一点，则_解析：设(1)，则|MF1|MF2|，由双曲线的定义知|MF1|MF2|2a，所以|MF2|，由题意知|MF2|ca，即ca，解得e1.因为双曲线1(a0，b0)的离心率的取值范围是(1，2，所以12，解得3，即3.答案：3B级素养提升|练能力|13.(2019年天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心
9、率为()ABC2D解析：选D由题意，可得F(1，0)，直线l的方程为x1，双曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得，4，即b2a，即b24a2，故双曲线的离心率e.故选D14(2019年全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为()ABC2D3解析：选A设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形PFO底边OF上的高h，所以SPFO.15(2019年全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与
10、圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()ABC2D解析：选A如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为y2，x2y2a2，得x，则以OF为直径的圆与圆x2y2a2的相交弦PQ所在直线的方程为x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故选A16(2019年全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点若，0，则双曲线C的离心率为_解析：解法一：因为0，所以F1BF2B，如图所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因
11、为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan 2BF1O，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.解法二：因为0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B又，所以A为F1B的中点，所以OAF2B，所以F1OAOF2B又F1OABOF2，所以OBF2为等边三角形由F2(c，0)可得B，因为点B在直线yx上，所以c，所以，所以e2.答案：217(2020届四川五校联考)已知双曲线C：1(
12、a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若AF2B60，ABF2的面积为a2，则双曲线的渐近线方程为_解析：解法一：如图，连接AF1，BF1，则由双曲线的对称性得四边形AF2BF1是平行四边形，设|AF2|x，则|BF1|x，则|BF2|x2a，由题意可知，SABF2x(x2a)a2，解得x(1)a或x(1)a(舍去)，则|BF2|(1)a.在BF1F2中，由余弦定理得4c2(1)2a2(1)2a22(1)(1)a2，化简得c24a2.又在双曲线中c2a2b2，故b23a2，所以渐近线方程为yx.解法二：如图，连接AF1，BF1，则由双曲线的对称性得四边形AF2BF1是平行四边形因为AF2B60，所以F1AF2120，所以SABF2SAF2BF1SAF1F2a2，得3，所以渐近线方程为yx.答案：yx18已知双曲线1(a0，b0)的左焦点为F1，P为双曲线右支上的一点，过点F1作与x轴垂直的直线l，若点P到直线l的距离d满足，则双曲线的离心率e的取值范围为_解析：设P(x0，y0)，则x0a，dx0c.因为点P在双曲线上，所以1，所以y(xa2)，所以|PF1|aex0，所以，得3c2a(2e3)x0，易知2e30，则x0a，解得e.答案：