1、数列一、 单选题1英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设且，数列的前项和为，则ABCD解：，又，且，数列是首项为1，公比为2的等比数列，故选：2设为数列的前项和，则ABCD解：由，当时，得；当时，即当为偶数时，所以，当为奇数时，所以，所以，所以，所以，所以因为故选：3已知数列的前项和为，且，若对任意都成立，则实数的最小值为ABCD1解：数列的前项和为，且，所以，故，所以，累加可得，所以，所以，所以，代入，得，令，由，解得，由解得，所以数列的最大项为，所以，所以的最小值为故选：4设数列
2、满足，A存在，B存在，使得是等差数列C存在，D存在，使得是等比数列解：由，可得，则可得，所以，则，由此可得，所以，则且，所以，故选项，错误；由，可得不是常数，所以不存在，使得是等差数列，故选项错误；假设存在，使得是等比数列，公比为，则有，所以，由，则，解得，所以存在，使得是等比数列，故选项正确故选：5已知等比数列满足，若，是数列的前项和，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为A，B，C，D，解：设等比数列的公比为，由，可得，解得，则，可得，两式相减可得，化简可得，不等式恒成立，即，即恒成立，由，可得，则的取值范围是，故选：6已知等差数列的公差为2，前项和为，且，成等比数列令，数列的前项和为，若对
3、于，不等式恒成立，则实数的取值范围是ABCD解：由题意，可知，成等比数列，即，解得，故，则，对于，不等式恒成立，故选：7已知数列满足，数列满足，若数列的前项和为，则数列的前10项和为A50B55C65D70解：由题意，可知数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故，对于数列：当时，又由，可得，两式相减，可得，当为奇数时，为偶数，各项相加，可得，当为偶数时，为奇数，各项相加，可得，综合，可知，则，数列的前10项和为故选：8已知数列的通项公式为，则ABCD解：数列的通项公式为，且的周期为，故，又因为，故选：二、 多选题9设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”， 是的“间
4、隔数”，下列说法正确的是A公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列”B若，则是“间隔递增数列”C若，则是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为D已知，若是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则解：选项中，设等比数列的公比是，则，其中，即，若，则，即，不符合定义，故选项错误；选项中，故，当为奇数时，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；当为偶数时，则存在时，成立，即对任意，均有，符合定义；综上所述，存在时，对任意，均有，符合定义，故选项正确；选项中，故，令，图象开口向上，对称轴为，故在时单调递增，令最小值（1），解得，又，故存在时，成立，即对任意，均有，符合定义，“间隔数”的最小值为，
5、故选项正确；选项中，因为，是“间隔递增数列”，则，即对任意成立，设，显然在上单调递增，故要使，只需（1）成立，即，又“间隔数”的最小值为3，故存在，使成立，且存在，使成立，故且，解得，故选项正确故选：10“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记大衍数列为，其前项和为，则ABCD解：数列的奇数项为0，4，12，24，40，
6、即，所以为正奇数），数列的偶数项为2，8，18，32，50，即，所以为正偶数），故，对于，故选项错误；对于，因为当为正奇数时，所以，所以，故选项正确；对于，故选项正确；对于，故选项正确故选：11已知无穷数列满足，其中为常数，则下列说法中正确的有A若，则是等差数列B若是等差数列，则C若，则是等比数列D若是等比数列，则，解：对于，若，则，所以，所以数列是等差数列，故正确；对于，若是等差数列，设公差为，所以，所以，所以，所以，当时，为常数，当时，解得，故错误；对于，则，所以，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故正确；对于，若是等比数列，设公比为，因为，所以，所以，若，则，此时，故错误故选：12设
7、为数列的前项和，且，若数列满足：，且，则以下说法正确的是A数列是等比数列B数列是递增数列CD解：因为，当时，两式相减可得，当时，也适合上式，故，则，因为，故数列是等比数列，故选项正确；因为，所以，故，当时，所以，则数列不是递增数列，故选项错误；因为，所以，两式相减可得，所以，故选项正确；，当时，则，当时，则，当时，则，综上可得，故选项正确故选：三、 填空题13定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线零点数列”已知函数有两个零点，2，数列为函数的“切线零点数列”，设数列满足，数列的前项和为，则解：因为有两个零点，2，所以，由题意得，所以，因为，所以，又，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，
8、所以，所以故答案为：14设首项为1的数列的前项和为，数列的前项和为，若，则使得成立的最小的的值为解：由题意可得，当时，当时，也适合上式，故，当时，当时，也适合上式，所以，则，因为，所以，所以，等价于，解得，所以使得成立的最小的的值为1010故答案为：101015已知数列满足，且则数列的通项公式为，若，则数列的前项和为解：，可得，又，则，上式对也成立，所以，；由，可得，则数列的前项和为故答案为：，；16有一种病毒在人群中传播，使人群成为三种类型：没感染病毒但可能会感染病毒的型；感染病毒尚未康复的型；感染病毒后康复的型（所有康复者都对病毒免疫）根据统计数据：每隔一周，型人群中有仍为型，成为型；型人群中有仍为型，成为型；型人群都仍为型若人口数为的人群在病毒爆发前全部是型，记病毒爆发周后的型人数为，型人数为，则；（用和表示，其中解：由题意可知，故为公比为的等比数列，所以，所以，所以，所以是公比为的等比数列，所以，所以故答案为：；