1、第八章立体几何第二节空间几何体的表面积与体积A级基础过关|固根基|1.如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为()ABCD解析：选A易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，又三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.2(2020届大同调研)某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为()A11BCD16解析：选C由三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥，记为三棱锥ABCD，将该三棱锥放在长方体中，如图所示，其中AB平面BCD，AB2，BCD为边长为2的正三角形设O1为正BCD的中心，O为三棱锥ABCD
2、外接球的球心，R为外接球的半径连接OO1，OB，O1B，则OO1平面BCD，OO11，BO12，则OB2R2122，所以该几何体外接球的表面积S4R24，故选C3.如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化(不考虑过程中的原料损失)，熔成一个实心球，该球的直径为()A3B4C5D6解析：选C实心金属几何体的体积Vr3r2l84.设实心球的半径为R，由体积相等得R3，所以R，所以该球的直径为2R5.4.如图，圆柱的底面半径为1，平面ABCD为圆柱的轴截面，从A点开始，沿着圆柱的侧面拉一条绳子到C点，若绳子的最短长
3、度为3，则该圆柱的侧面积为()A42B22C52D42解析：选A沿AD将圆柱的侧面展开，绳子的最短长度即侧面展开图中A，C两点间的距离，连接AC，所以AC3，展开后AB的长度为.设圆柱的高为h，则AC2AB2h2，即922h2，解得h2，所以圆柱的侧面积为21242.5(2020届贵阳摸底)某几何体的三视图如图所示，则它的体积为()ABCD解析：选A根据三视图可知，该几何体为三棱锥，记为ABCD，放在正方体中如图所示，则该几何体的体积VSBCD2212.故选A6(2019届合肥市二检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体
4、的表面积为()A1712B1212C2012D1612解析：选C由三视图知，该几何体是一个由大半圆柱挖去一个小半圆柱得到的，两个半圆柱的底面半径分别为1和3，高均为3，所以该几何体的表面积为23321322232012，故选C7(2019届福州市质检)如图，以棱长为1的正方体的顶点A为球心，以为半径作一个球面，则该正方体的表面被球面所截得的所有弧长之和为()ABCD解析：选C正方体的表面被该球面所截得的弧长是相等的三部分，如图，上底面被球面截得的弧长是以A1为圆心，1为半径的圆周长的，所以所有弧长之和为3.故选C8(2019届洛阳市第二次联考)已知正三角形ABC的三个顶点都在半径为2的球面上，
5、球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面圆面积的最小值是()AB2CD3解析：选C设正三角形ABC的中心为O1，连接OO1，OA，O1A，由题意得O1O平面ABC，O1O1，OA2，在RtO1OA中，O1A，AB3.E为AB的中点，AE.连接OE，则OEAB过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径r，可得截面圆面积的最小值为r2，故选C9(2019届南昌市二模)已知圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，有以下结论：lr43；圆锥的侧面积与底面面积之比为43；圆锥的轴截面是锐角三角形其中所有正确
6、结论的序号是()ABCD解析：选A设圆锥的母线长l1.因为圆锥的侧面展开图为四分之三个圆面，所以圆锥的侧面积为.又圆锥的底面半径为r，所以由2r2，得r，所以，故正确；圆锥的侧面积与底面积之比为，故正确；设圆锥的轴截面三角形的顶角为，因为圆锥的底面直径为2，所以cos ，所以角为钝角，所以圆锥的轴截面是钝角三角形，故错误故选A10(2019届惠州模拟)已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥SABC的外接球的球心到平面ABC的距离是()AB1CD解析：选A三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，S在底面ABC内的射影为
7、AB的中点设AB的中点为H，连接SH，CH，SH平面ABC，SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH，CH1，在RtSHC中，HSC30.在面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥SABC的外接球的球心SC2，SM1.又OSM30，SO，OH，球心O到平面ABC的距离为，故选A11如图，在直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为_解析：根据题意可知，所得几何体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示，则所得几何体的表面积为圆锥侧面
8、积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面面积之和，即表面积为121112(3).答案：(3)12(2020届贵阳摸底)在四面体ABCD中，若ABCD，ACBD，ADBC3，则四面体ABCD的外接球的表面积为_解析：如图所示，将四面体补形为长方体，则四面体的四个顶点均为长方体的顶点，四面体的外接球即长方体的外接球设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则三个等式相加得2(a2b2c2)20a2b2c210，设该四面体外接球的半径为R，则2R，即R，所以该四面体外接球的表面积为4R2410.答案：10B级素养提升|练能力|13.(2019届合肥市二检)我国古代名著张丘建算经中记载：“今有方锥，下广二丈，高三
9、丈欲斩末为方亭，令上方六尺问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是(注：1丈10尺)()A1 946立方尺B3 892立方尺C7 784立方尺D11 676立方尺解析：选B解法一：如图，记正四棱台为A1B1C1D1ABCD该正四棱台由正四棱锥SABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点设正四棱台的高为x，则由图中SO1E1SOE，得，即，解得x21，所以该正四棱台的体积
10、V(62620202)213 892(立方尺)，故选B解法二：如解法一中图，记正四棱台为A1B1C1D1ABCD该正四棱台由正四棱锥SABCD截得，O为正方形ABCD的中心，E为BC的中点，E1为B1C1的中点设截去的正四棱锥的高为x，则由图中SO1E1SOE，得，即，解得x9，所以该正四棱台的体积VV正四棱锥SABCDV正四棱锥SA1B1C1D1202306293 892(立方尺)，故选B14(2019届郑州市第二次质量预测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADDD11，AB，E，F，G分别是棱AB，BC，CC1的中点，P是底面ABCD内一动点，若直线D1P与平面EFG没有公共点，则PB
11、B1面积的最小值为()AB1CD解析：选C记PBB1的面积为S.因为P在底面ABCD上，所以PBBB1，即PBB1为直角三角形又BB1DD11，所以SBB1PBPB，所以当线段PB的长最小时，S取得最小值因为D1P与平面EFG无公共点，所以D1P平面EFG.如图，连接AD1，D1C，AC，易证GFAD1，EFAC，又GFEFF，AD1ACA，所以平面AD1C平面EFG，所以D1P平面AD1C，又点P是底面ABCD内一动点，所以点P一定在线段AC上运动如图，当PBAC时，线段PB的长最小，此时PB，故Smin，故选C15在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球若ABBC，AB6，B
12、C8，AA13，则V的最大值是()A4BC6D解析：选B由题意可得，若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时半径R，故该球的体积最大，VmaxR3.16(2020届惠州调研)在三棱锥ABCD中，底面BCD是直角三角形且BCCD，斜边BD上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16，则三棱锥ABCD体积的最大值为_解析：如图，过点C作CHBD于H.由外接球的表面积为16，可得外接球的半径为2，则AB4.因为AB为外接球的直径，所以BDA90，BCA90，即BDAD，BCCA，又BCCD，CACDC，所以BC平面ACD，所以BCAD，又BCBDB，所以AD平面BCD，AD平面ABD，所以平面ABD平面BCD，又平面ABD平面BCDBD，所以CH平面ABD设ADx(0x4)，则BD.在BCD中，BD边上的高CH1，所以V三棱锥ABCDV三棱锥CABDx1，当x28时，V三棱锥ABCD有最大值，故三棱锥ABCD体积的最大值为.答案：
