1、第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目 标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式2会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等3熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R两角和的余弦公式C()cos()cos_cos_sin_sin_，R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条
2、件两角和的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R两角差的正弦S()sin()sin_cos_cos_sin_，R3.重要结论辅助角公式yasin xbcos xsin(x)(a，b不同时为0)，其中cos ，sin .1cos 57cos 3sin 57sin 3的值为()A0B.C.Dcos 54B原式cos(573)cos 60.2sin 245sin 125sin 155sin 35的值是()A BC. D.Bsin 245sin(15590)cos 155，sin 125sin(9035)cos 35，原式cos 155cos 35sin 155sin 35cos(1
3、5535)cos 120.3若cos ，是第三象限的角，则sin_.cos ，是第三象限的角，sin ，sinsin cos .,给角求值问题【例1】(1)cos 70sin 50cos 200sin 40的值为()ABC.D.(2)若是第二象限角且sin ，则cos(60)_.(3)求值：(tan 10).(1)D(2)(1)cos 200cos(18020)cos 20sin 70，sin 40cos 50，原式cos 70sin 50(sin 70)cos 50sin(5070)sin 120.(2)是第二象限角且sin ，cos ，cos(60)cos sin .(3)解原式(tan
4、10tan 60)2.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求1化简求值：(1)；(2)sin(75)cos(45)cos(15)解(1)原式sin 30.(2)设15，则原式sin(60)cos(30)cos cos 0.给值求值、求角问题【例2】(1)已
5、知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cosPOQ_.(2)已知cos ，sin()，且，.求：cos(2)的值；的值思路点拨(1)先由任意角三角函数的定义求xOP和xOQ的正弦、余弦值，再依据POQxOPxOQ及两角和的余弦公式求值(2)先求sin ，cos()，依据2()求cos(2)依据()求cos 再求.(1)由题意可得，cosxOP，所以sinxOP.再根据cosxOQ，可得sinxOQ，所以cosPOQcos(xOPxOQ)cosxOPcosxOQsinxOPsinxOQ.(2)解因为，所以，又sin()0，所以
6、0，所以sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().cos cos()cos cos()sin sin()，又因为，所以.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2已知锐角，满足cos ，sin()，求sin 的值解因为，是锐角，即0，0，所以，因为sin()0，所以cos()，因为cos ，所以sin ，所以si
7、n sin()sin cos()cos sin().辅助角公式的应用探究问题1能否将函数ysin xcos x(xR)化为yAsin(x)的形式？提示：能ysin xcos xsin.2如何推导asin xbcos xsin(x)公式提示：asin xbcos x，令cos ，sin ，则asin xbcos x(sin xcos cos xsin )sin(x)(其中角所在象限由a，b的符号确定，角的值由tan 确定，或由sin 和cos 共同确定)【例3】(1)sincos_.(2)已知f(x)sin xcos x，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间思路点拨解答此类问题的关键是巧妙构
8、建公式C()、C()、S()、S()的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值(1)原式2.法一：(化正弦)原式222sin2sin.法二：(化余弦)原式222cos2cos.(2)解f(x)sin xcos x222sin，T2，值域2,2由2kx2k，得递增区间，kZ.1若将例3(2)中函数改为f(x)sin xcos x，其他条件不变如何解答？解f(x)sin xcos x2cos xsin x2cos，T2，值域为2,2，由2kx2k，得递增区间，kZ.2若将例3(2)中函数改为f(x)msin xmcos x，其中m0，其他条件不变，应如何解答？解f(x)msin xmcos xms
9、in，T2，值域为m，m，由2kx2k，得递增区间，kZ.辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式asin bcos sin()(或asin bcos cos()将形如asin bcos (a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sinsincos cossin cos .2使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin co
10、s()cos sin()时，不要将cos()和sin()展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin cos()cos sin()sin()sin()sin .3运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解1思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在，R，使得sin()sin sin 成立()(3)对于任意，R，sin()sin sin 都不成立()(4)sin 54cos 24sin 36sin 24sin 30.()提示(1)正确根据公式的推导过程可得(2)正确当45，0时，sin()
11、sin sin .(3)错误当30，30时，sin()sin sin 成立(4)正确因为sin 54cos 24sin 36sin 24sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式正确答案(1)(2)(3)(4)2化简cos xsin x等于()A2sinB2cosC2sin D2cosDcos xsin x222cos.3cos cos()sin sin()_.cos cos cos()sin sin()cos()cos .4已知，均为锐角，sin ，cos ，求.解，均为锐角，sin ，cos ，sin ，cos .sin sin ，0，sin()sin cos cos sin ，.