1、第3章 第3节一、选择题1(2010山东理)由曲线yx2，yx3围成的封闭图形面积为() A. B. C. D.答案A 解析由得交点为(0,0)，(1,1)S(x2x3)dx01.2已知f(x)为偶函数且f(x)dx8，则6f(x)dx等于()A0B4C8D16答案D解析原函数为偶函数，在y轴两侧的图像对称对应的面积相等原式2f(x)dx8216.3(2011沈阳)由三条直线x0，x2，y0和曲线yx3所围成的图形的面积为()A4 B. C. D6答案A解析Sx3dx024.4若dx3ln2，则a的值为()A6 B4 C3 D2答案D解析dx(x2lnx)|1aa2lna(12ln1)a2ln
2、a13ln2a2.5函数F(x)t(t4)dt在1,5上()A有最大值0，无最小值B有最大值0和最小值C有最小值，无最大值D既无最大值也无最小值答案B解析F(x)x(x4)令F (x)0，得x10，x24，F(1)，F(0)0，F(4)，F(5).最大值为0，最小值为.6用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是()A.f(x)dxB|f(x)dx|C.f(x)dxf(x)dxD.f(x)dxf(x)dx答案D解析由定积分的几何意义知：在x轴上方的阴影部分的面积为f(x)dx，则在x轴下方的阴影部分，由于f(x)0，故f(x)dx0，所以其面积应为f(x)dx.因此，总面积为f(x)dxf(x)d
3、x.7已知力F和物体移动方向相同，而且与物体位置x有如下关系：F(x)那么力F使物体从x1点运动到x1点做功大小为()A0 B. C. D1答案B解析1F(x)dx1|x|dx(x21)dx1(x)dx(x21)dx(1)2131.8设f(x)则f(x)dx()A. B. C. D不存在答案C解析如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|0112.二、填空题9.4|x2|dx_.答案解析原式(x2)dx2(x2)dx.10一物体以初速度v9.8t6.5m/s的速度自由落下，则下落后第二个4s内经过的路程是_答案261.2m解析(9.8t6.5)dt(4.9t26.5t)|484.9646.5
4、84.9166.54313.65278.426261.2.11如果f(x)dx1，f(x)dx1，则f(x)dx_.答案2解析f(x)dxf(x)dxf(x)dx，f(x)dxf(x)dxf(x)dx112.三、解答题12求下列定积分：13已知f(x)为二次函数，且f(1)2，f (0)0，f(x)dx2，(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在1,1上的最大值与最小值解析(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f (x)2axb.由f(1)2，f (0)0，得，即，f(x)ax2(2a)又f(x)dxax2(2a)dxax3(2a)x|012a2，a6，从而f(x)6x24.(2)f(x
5、)6x24，x1,1当x0时，f(x)min4；当x1时，f(x)max2.14如图所示，直线ykx分抛物线yxx2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值解析抛物线yxx2与x轴两交点的横坐标为x10，x21，所以，抛物线与x轴所围图形的面积(1k)3.又知S，所以(1k)3，于是k1.15设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f (x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)求yf(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积(3)若直线xt(0t1)，把yf(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析(1)设f(x)ax2bxc，则f (x)2axb，又已知
6、f (x)2x2，a1，b2，f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等的实根，判别式44c0，即c1.故f(x)x22x1.(2)依题意，所求面积(x22x1)dx (3)依题意有(x22x1)dxt(x22x1)dx.t3t2tt3t2t，2t36t26t102(t1)31，于是t1 .教师备课平台导数复习的关键问题导数是高中数学的重要内容之一，又是高中数学的重要工具，在高考中占有举足轻重的地位，可以说这部分内容掌握的好坏，直接决定着高考中数学科能不能取得高分在解答与此知识点相关的问题时，要注意以下几个关键点：一、切记函数的定义域研究函数问题要树立定义域优先的意识，否则解题中极易出错例
7、1讨论函数f(x)ln(2x3)x2的单调性分析求出f(x)的导数后，解不等式即可解析f(x)的定义域为.f(x)2x.当x0；当1x时，f(x)时，f(x)0.从而，f(x)分别在区间，上单调递增，在区间上单调递减点评本题如果没有定义域优先的意识，单从f(x)来看，极易把单调减区间写成和.二、清晰理解导数的定义从三个方面理解导数的定义：1函数f(x)在某一点x0处的导数：f(x0) .2函数f(x)在开区间(a，b)内的导数：如果函数f(x)在开区间(a，b)内可导，对于开区间(a，b)内的每一个x0，都对应着一个导数f(x0)，这样f(x)在开区间(a，b)内构成一个新的函数，这一新的函数
8、叫作f(x)在开区间(a，b)内的导函数记作f(x)y ，导函数也简称为导数3导数的定义的等价形式f(x0) 的几种等价形式：f(x0) 等例2已知函数f(x)中，f(1)2，求 .分析当x0时，2x0，只需将 变形为2 ，即可用导数的定义解决解析 2 2f(1)4.点评函数在某一点x0处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是2x，x等三、准确掌握f(x)取得极值的充要条件定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，并且f(x)在x0两侧异号例3函数
9、f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，求ab的值分析先由f(1)10，f(1)0，列式求出a、b，再验证在x1两侧的导数是不是异号解析f(x)3x22axb，由于函数f(x)x3ax2bxa2在x1处有极小值10，所以，解得或.当时，f(x)3x26x33(x1)2在x1的左右两侧不变号，所以x1不是函数f(x)的极小值点；当时，f(x)3x28x11(x1)(3x11)，在x1的左侧为负、右侧为正，故x1是函数f(x)的极小值点，所以ab7.点评f(x0)0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还得f(x)在x0两侧异号四、全面把握
10、函数单调性1在某个区间(a，b)上，若f(x)0 ，则f(x)在这个区间上单调递增；若f(x)0或f(x)0，当f(x)0时，函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，当f(x)0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，反之等号不成立3使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性如yxcosx.例4已知函数f(x)x2(x0，aR)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围分析只要f(x)0在2，)上恒成立，而只在一些离散的点处为0即可解析f(x)2x，要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需当x2时，f(x)0恒成立，即2x0，则a2x
11、316，)恒成立，故当a16时，f(x)在区间2，)上是增函数点评本题仅在x处f(x)0.五、充分注意函数的不可导点有些函数存在不可导点，如果不注意，将会发生错误例5已知aR，求函数f(x)x2|xa|的极值点分析这个函数有一个不可导点xa，而且这个点也是函数f(x)的极值点，在讨论函数的极值点时把它一起讨论，其余的极值点用导数去处理解析(1)当a0时，f(x)x2|xa|，作出其草图如下，易知f(x)有两个(常规)极值点x10，x2，有一个不可导点xa，而且这个点也是函数f(x)的极值点，借助于图像可知x0，xa是函数的极小值点，x是函数的极大值点(2)当a0时，f(x)x2|x|，此时f(
12、x)在区间(，0)上单调递减，在区间0，)上单调递增，x0为函数f(x)的极小值点，此时函数f(x)无极大值点点评函数在某点处有定义时，只要它在该点左右两侧有相反的单调性，这点就是该函数的极值点六、求曲线的切线方程时，千万记住是曲线上某点处的切线(仅有一条)，还是过某点的切线(可能不只一条)例6已知函数f(x)x3x24x，求过点(0,0)的曲线yf(x)的切线方程分析先用求曲线上某点处切线方程的方法，写出曲线上点(x0，y0)处的切线方程，这条切线过点(0,0)，再确定x0，y0的值即可解析f(x)2x22x4，设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为2x022x04，切线方程为y(2x0
13、22x04)(xx0)，切线过点(0,0)，所以(2x022x04)(x0)4x033x020x00或.当x00时，切线方程为y4x，当x0时，切线方程为yx.点评点(0,0)虽然也在曲线上，但并不是求仅在这点处的切线方程七、用导数解决与正整数n有关的问题时，不能直接对n求导例7证明对任意的正整数n，不等式ln都成立分析由于n是正整数，故(0,1，所证的不等式即ln(1)0，构造函数f(x)x3x2ln(x1)，只需证明它在(0,1上大于0即可解析令f(x)x3x2ln(x1)，则f(x)在(0,1上恒正，f(x)在(0,1上单调递增，当x(0,1时，恒有f(x)f(0)0，即当x(0,1时，
14、有x3x2ln(x1)0，即ln(x1)x2x3.对任意正整数n，取x(0,1，得ln.点评若令f(n)ln，则这个函数图像是离散的点，在每一处都不可导，就无法用导数去解决这个问题八、树立导数在解决函数问题时的应用意识例8已知函数f(x)x28x，g(x)6lnxm，是否存在实数m，使得yf(x)的图像与yg(x)的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由分析由于x0，函数yf(x)的图像与yg(x)的图像有且只有三个不同的交点方程x28x6lnxm0在(0，)上有三个不等的实根(x)x28x6lnxm的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点结合函数图像的特征
15、即可解决问题解析函数yf(x)的图像与yg(x)的图像有且只有三个不同的交点，即函数(x)g(x)f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点(x)x28x6lnxm，(x)2x8(x0)，当x(0,1)时，(x)0，(x)是增函数；当x(1,3)时，(x)0，(x)是增函数；当x1或x3时，(x)0.(x)极大值(1)m7，(x)极小值(3)m6ln315. 当x充分接近0时，(x)0，要使(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需，即7m156ln3. 所以存在实数m，使得函数yf(x)与yg(x)的图像，有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156ln3)点评本题运用导数，通过对函数(x)单调区间的划分和极大值点、极小值点的讨论，明确了函数图像的大致形态使问题获得解决，是一道用导数解决函数问题的典型题目总之，在复习导数时，抓住关键，搞清“道理”，用“道理”去指导解题，是学好用好导数的关键
