1、第五章平面向量第三节平面向量的数量积及应用举例A级基础过关|固根基|1.已知两个非零向量a与b的夹角为，则“ab0”是“为锐角”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：选B由ab0，可得到，不能得到；而由，可以得到ab0.故选B2(2019届郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60，则|a3b|等于()ABCD4解析：选C依题意得ab，|a3b|，故选C3(2019届山东模拟)已知非零向量m，n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4B4CD解析：选B由n(tmn)可得n(tmn)0，即tmnn2
2、0，所以t.又4|m|3|n|，t34.故选B4(2019届东北联考)已知向量a，b满足(a2b)(5a4b)0，且|a|b|1，则a与b的夹角为()ABCD解析：选C因为(a2b)(5a4b)0，|a|b|1，所以6ab850，即ab.又ab|a|b|cos cos ，所以cos .因为0，所以.故选C5(2019届石家庄模拟)在ABC中，AB4，AC3，1，则BC()ABC2D3解析：选D设A，因为，AB4，AC3，所以()291，即8，所以cos ，所以BC3.故选D6已知向量a，b满足|a|1，(ab)(a2b)0，则|b|的取值范围为()A1，2B2，4CD解析：选D由题意知b0，设
3、向量a，b的夹角为，因为(ab)(a2b)a2ab2b20，又|a|1，所以1|b|cos 2|b|20，所以|b|cos 12|b|2.因为1cos 1，所以|b|12|b|2|b|，所以|b|1，所以|b|的取值范围是.故选D7(2020届大同调研)在RtABC中，C，AC3，取点D，E，使，3，那么()A6B6C3D3解析：选D由2，得2()，得.由3，得3()，得.因为C，即，所以0.所以223，故选D8.如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，2，则的值是()ABCD解析：选B因为2，r1，所以|，所以()()2()01，故选B9(2019届南宁市摸底联考)已知O是ABC内一点，
4、0，2且BAC60，则OBC的面积为()ABCD解析：选A0，O是ABC的重心，SOBCSABC2，|cosBAC2.又BAC60，|4，SABC|sinBAC，OBC的面积为，故选A10(2020届贵阳摸底)已知a，b均为单位向量，若|a2b|，则a与b的夹角为_解析：由|a2b|，得|a2b|23，即a24ab4b23，即14ab43，所以ab，所以cosa，b，所以a，b.答案：11(2019届南昌摸底调研)已知动直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，且|AB|2，点C为直线l上一点，且满足，若M是线段AB的中点，则的值为_解析：解法一：动直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，连
5、接OA，OB，因为|AB|2，所以AOB为等边三角形，于是不妨设动直线l为y(x2)，如图所示，根据题意可得B(2，0)，A(1，)，因为M是线段AB的中点，所以M.设C(x，y)，因为，所以(2x，y)(1x，y)，所以解得所以C，所以3.解法二：连接OA，OB，因为直线l与圆O：x2y24相交于A，B两点，|AB|2，所以AOB为等边三角形因为，所以.又M为AB的中点，所以，且与的夹角为60，则22|cos 6044223.答案：312.如图，已知O为坐标原点，向量(3cos x，3sin x)，(3cos x，sin x)，(，0)，x.(1)求证：()；(2)若ABC是等腰三角形，求x
6、的值解：(1)证明：(0，2sin x)，()02sin x00，().(2)若ABC是等腰三角形，则ABBC，(2sin x)2(3cos x)2sin2x，整理得2cos2xcos x0，解得cos x0，或cos x.x，cos x，即x.B级素养提升|练能力|13.(2019届洛阳市第一次联考)已知点O是锐角三角形ABC的外心，若mn(m，nR)，则()Amn2B2mn1Cmn1D1mn0解析：选C因为点O是锐角三角形ABC的外心，所以O在三角形内部，则m0，n0.不妨设锐角三角形ABC的外接圆的半径为1，因为mn，所以2m22n222mn.设向量，的夹角为，则1m2n22mncos
7、m2n22mn(mn)2，所以mn1(舍去)，所以mn1，故选C14已知点P是圆x2y24上的动点，点A，B，C在以坐标原点O为圆心的单位圆上运动，且0，则|的最大值为()A5B6C7D8解析：选C由A，B，C三点在圆x2y21上，且0，得AC是该圆的直径设，的夹角为，0，则|2|3|，当0时，|取得最大值7，故选C15在RtABC中，BCA90，CACB1，P是AB边上的点，若，则实数的最大值是()A1BCD解析：选A以点C为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则C(0，0)，A(1，0)，B(0，1)，所以(1，1)因为点P在线段AB上，所以(，)，所以P(1，)，
8、所以(1，)，(1，1)，0，1因为，所以(1，)(1，1)(，)(1，1)，化简得22410，解得.因为0，1，所以1，所以的最大值是1.故选A16.如图，在平行四边形ABCD中，|，向量在方向上的投影为1，且0，点P在线段CD上，则的取值范围为_解析：解法一：由题意知DAB45，且|1，设|x，则0x1，因为，所以()()22(1x)cos 135xcos 45x(1x)x2x11，3解法二：由题意可知，DBAB，以B为坐标原点，AB及BD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系由题意知B(0，0)，A(1，0)，设P(x，1)，其中0x1，则(1x，1)(x，1)x2x11，3答案：1，317已知ABC的面积为24，点D，E分别在边BC，AC上，且满足3，2，连接AD，BE交于点F，则ABF的面积为_解析：解法一：如图，连接CF，由于B，F，E三点共线，因而可设(1).3，CD2，(1).又A，F，D三点共线，(1)1，解得，.，F为AD的中点，因而SABFSABDSABC4.解法二：如图，过D作AC的平行线，交BE于H，则由已知2，得DHCE，又3，因而DHEA，AEFDHF，则F为AD的中点，因而SABFSABDSABC4.答案：4
