1、双曲线一、 单选题1已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设，分别为双曲线的左、右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为A，B，C，D，解：令中的，解得或5，则双曲线的，设，由双曲线的定义可得，所以，由，递增，可得，则，所以，故选：2已知双曲线，为坐标原点，为双曲线上两动点，且，则面积的最小值为A20B15C30D25解：设直线的方程为，且在第一象限内，代入双曲线，可得，由，可将上面中的换为，可得，所以面积，当且仅当，即时，上式取得等号，所以面积的最小值为20故选：3已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为若在双曲线的渐近线上存在一点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是AB，CD，解：由题意知
2、，不妨设点在渐近线上，即，整理得，原问题可转化为关于的方程有根，又，故选：4已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在第一象限，且若，则双曲线的离心率为A4BCD2解：由双曲线的定义知，即，在中，由余弦定理知，解得或（舍，双曲线的离心率为2故选：5已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点若，则双曲线的离心率的取值范围是AB，CD解：在中，由双曲线的定义知，在中，由余弦定理知，解得，即，离心率，故选：6已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与双曲线交于，两点，且，则的面积为A3BCD解：设双曲线的左焦点为，连接，由双曲线的定义
3、知，由双曲线的对称性知，即，在中，由余弦定理知，的面积故选：7已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且过作倾斜角为的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为ABCD解：设椭圆的方程为，双曲线的方程为的焦点为，可得，由，可得，设，则，且，所以，则，即，则椭圆的方程为，过作倾斜角为的直线的方程为，联立，可得，解得，交点为，所以故选：8设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，若右焦点，且一条渐近线与圆相切，则的最小内角的余弦值为ABCD解：双曲线的，即，且是双曲线的一条渐近线，又渐近线与圆相切，所以圆心到渐近线的距离为1，即，可得，解得，由，不妨设为双曲线右支上的一点，
4、由双曲线的定义可得，所以，则的最小内角为，由余弦定理可得故选：二、 多选题9已知，分别为双曲线的左、右焦点，的一条渐近线的方程为，且到的距离为，点为在第一象限上的点，点的坐标为，为的平分线，则下列正确的是A双曲线的方程为BCD点到轴的距离为解：渐近线的方程为，到的距离为，双曲线的标准方程为，即选项正确；，由角分线定理知，即选项正确；由双曲线的定义知，在等腰中，即选项正确；，即选项错误故选：10已知双曲线方程为，为双曲线右支上任意一点，为左、右焦点，的内切圆圆心为，与轴切于点，线段的延长线与轴交于点，则以下结论正确的有A为定值B的横坐标为定值C的范围是D半径的最大值为4解：双曲线方程为的，与轴切
5、于点，与切于点，与切于点，因为的横坐标与的横坐标相等，设，由切线长相等，可得，由双曲线的定义可得，即有，又，解得，可得，则，都正确；由内角平分线的性质定理可得，即有，解得，故正确；可设，的内切圆的半径为，则，又，即为，化为，若，则，联立，可得方程组无解故错误故选：11已知双曲线的一条渐近线方程为，则A，为的一个焦点B双曲线的离心率为C过点作直线与交于，两点，则满足的直线有且只有两条D设，为上三点且，关于原点对称，则，斜率存在时其乘积为解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，则双曲线的方程为，可得，焦点为，故错误；双曲线的离心率为，故正确；过右焦点作直线与交于，两点，若，均在右支上，可得，而，
6、可得这样的直线有两条；若，分别在双曲线的左、右支上，可得，而，可得这样的直线有两条，则满足的直线共有4条，故错误；设，可得，两式相减可得，即有，斜率存在时其乘积为，故正确故选：12设为坐标原点，是双曲线的左、右焦点在双曲线的右支上存在点满足，且线段的中点在轴上，则A双曲线的离心率为B双曲线的方程可以是CD的面积为解：如图，为线段的中点，为的中点，由双曲线定义可得，设，则，即，又，则，故正确；，则，双曲线的渐近线方程为，选项的渐近线方程为，故错误；对于，为的中点，则，即，即，而，两边平方并整理得，联立可得，即，故正确；，故错误故选：三、 填空题13双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支
7、分别交于，两点，点在轴上，平分，则的渐近线方程为解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，由，设，则，由角分线定理可知，平分，由双曲线的定义知，即，即是等边三角形，在中，由余弦定理知，即，化简得，由可得，则，可得双曲线的渐近线方程为故答案为：14已知，分别为双曲线的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为解：设切点为，过作，垂足为，由题意可得，由为的中位线，可得，又，可得，又，所以，所以双曲线的渐近线方程为故答案为：15已知点为双曲线的左焦点，为该双曲线渐近线在第一象限内的点，过原点作的垂线交于点，若恰为线段的中点，且的内切圆半径为，则该双曲线的离心率为解：设，由题意知，点在渐近线上，点在渐近线上，为线段的中点，且，解得，的内切圆半径为，即，化简得，离心率故答案为：16已知双曲线的焦点为，是双曲线上一点，且若的外接圆和内切圆的半径分别为，且，则双曲线的离心率为解：由正弦定理知，设，由双曲线的定义知，由余弦定理知，又的面积，由得，整理得，即，解得或（舍去）故答案为：