1、课时作业55抛物线一、选择题1已知抛物线的焦点在x轴的负半轴上，若p2，则其标准方程为(C)Ay22xBx22yCy24xDx24y解析：由题意知抛物线开口向左，且p2，所以抛物线的标准方程为y24x，故选C2(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p(D)A2B3C4D8解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的焦点坐标为(，0)，所以，解得p8，故选D3(2020安徽省五校联盟质量检测)已知抛物线C：x22py(p0)的焦点为F，点P(x0，)在C上，且|PF|，则p(B)ABCD1解析：抛物线的准线方程为y，因为P(x0，)在抛物线上，所以点P到准
2、线的距离d|PF|，则p，故选B4以抛物线y28x上的任意一点为圆心作圆与直线x2相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是(B)A(0,2)B(2,0)C(4,0)D(0,4)解析：由题意得抛物线y28x的准线方程为x2，因为动圆的圆心在抛物线y28x上，且与抛物线的准线相切，所以动圆必过抛物线的焦点，即过点(2,0)故选B5已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A(4，y0)作AA1l于点A1，若A1AF，则p(C)A6B12C24D48解析：A1AF，AA1FAFA1.设准线l与x轴的交点为B，则|BF|p，|A1B|BF|tanp，|AF|4，p24，故
3、选C6已知点F是抛物线y2x2的焦点，M，N是该抛物线上的两点，若|MF|NF|，则线段MN的中点的纵坐标为(B)AB2CD3解析：F是抛物线y2x2的焦点，F，准线方程为y.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则|MF|NF|y1y2，解得y1y24，线段MN的中点的纵坐标为2.故选B7已知抛物线y24x的焦点为F，过点F和抛物线上一点M(2,2)的直线l交抛物线于另一点N，则|NF|FM|等于(A)A12B13C1D1解析：抛物线y24x的焦点F的坐标为(1,0)，M(2,2)，直线l的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，点N的横坐标为.抛物线y24x的准线方程为x1，|
4、NF|，|MF|3，|NF|MF|12，故选A8(2020合肥市模拟)已知过抛物线y24x的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，3，抛物线的准线l与x轴交于点C，AMl于点M，则四边形AMCF的面积为(A)A12B12C8D6解析：不妨设直线AB的倾斜角为锐角，过点B作BDAM，交AM于点D，过点B作BNl，垂足为N，则|AD|AM|MD|AF|FB|2|FB|，|AB|AF|FB|4|FB|，所以|AD|AB|，在RtABD中，|AD|AB|，则BAD60，所以AFx60，所以kAB，则直线AB：y(x)，代入y24x，得(x)24x，即3x210x60，解得x13，x2，则xA3，yA2，
5、则四边形AMCF的面积为(42)212，故选A二、填空题9(2019北京卷)设抛物线y24x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为(x1)2y24.解析：因为抛物线的标准方程为y24x，所以焦点F(1,0)，准线l的方程为x1，所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r2，所以圆的方程为(x1)2y24.10O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为.解析：设P(x0，y0)，则x014，故x03，所以y02.又F(1,0)，所以SPFO21.11过抛物线C：y24x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与其准线交于点
6、M，且3，则|.解析：过P点作准线的垂线，垂足为H，则|PH|PF|，由3有，所以，解得|PH|，所以|PH|.12(2020湖南省五市十校联考)已知直线l：y2xb被抛物线C：y22px(p0)截得的弦长为5，直线l经过C的焦点，M为C上的一个动点，设点N的坐标为(3,0)，则|MN|的最小值为2.解析：设直线l与抛物线C的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由直线l经过C的焦点(，0)，得2b0，所以bp，直线l的方程为y2xp.联立得消去y得，4x26pxp20，所以x1x2，所以|AB|x1x2p5，得p2，即抛物线C：y24x，设M(，y0)，则|MN|2，当且仅当y4，
7、即y02时取等号，所以|MN|的最小值为2.三、解答题13已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标解：(1)抛物线y22px(p0)的准线为x，于是45，p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4)，由题意得B(0,4)，M(0,2)又F(1,0)，kFA，MNFA，kMN.FA的方程为y(x1)，MN的方程为y2x，联立，解得x，y，点N的坐标为.14已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，
8、抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线C的方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍去)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABS
9、FMBSFMA|FM|y1y2|324.15已知直线ya交抛物线yx2于A，B两点若该抛物线上存在点C，使得ACB为直角，则实数a的取值范围为1，)解析：如图，设C(x0，x)(xa)，A(，a)，B(，a)，则(x0，ax)，(x0，ax)CACB，0，即(ax)(ax)20，整理得(ax)(1ax)0.xa10，a1.16(2019全国卷)已知曲线C：y，D为直线y上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B(1)证明：直线AB过定点；(2)若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程解：(1)设D(t，)，A(x1，y1)，则x2y1.由yx，所以切线DA的斜率为x1，故x1.整理得2tx12y110.设B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直线AB的方程为2tx2y10.所以直线AB过定点(0，)(2)由(1)得直线AB的方程为ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21，设M为线段AB的中点，则M(t，t2)由于，而(t，t22)，与向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t1.当t0时，|2，所求圆的方程为x2(y)24；当t1时，|，所求圆的方程为x2(y)22.