1、第二讲 填空题的解题方法 【题型概述】1.特点:(1)具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.(2)跨度大,覆盖面广,形式灵活,突出训练学生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力和基本运算能力.(3)一般分成两种类型:一是定量型:要求考生填写数值、数集或数量关系;二是定性型:要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质.2.解题策略:(1)快运算要快,力戒小题大做.(2)稳变形要稳,不可操之过急.(3)全答案要全,力避残缺不齐.(4)活解题要活,不要生搬硬套.(5)细审题要细,不能粗心大意.方法一 直接法 1.方法诠释:对于计算型的试题,多通过直接计算求得结果,这是解决填空题的
2、基本方法.它是直接从题设出发,利用有关性质或结论,通过巧妙变形,直接得到结果的方法.要善于透过现象抓本质,有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.2.适用范围:对于计算型试题,多通过计算求结果.3.解题关键:根据题目的要求灵活处理,多角度思考问题,注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用,将计算过程简化从而得到结果,这是快速准确地求解填空题的关键.【典例1】(2015重庆高考)设ABC的内角A,B,C的 对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=-,3sinA=2sinB,则 c=_.14【解析】在ABC中,因为3sinA=2sinB.由正弦定理可知3a=2b,因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知
3、 c2=a2+b2-2abcosC=4+9-223 =16,所以c=4.答案:4 1()4【变式训练】(2016杭州一模)已知F1,F2是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,若点P在C上,且 PF1F1F2,|PF2|=2|PF1|,则C的离心率为_.2222xyab【解析】因为PF1F1F2,|PF2|=2|PF1|,所以|PF1|=,|PF2|=,由椭圆定义可得|PF1|+|PF2|=2a,即2a2=3(a2-c2),化简得a=c,故离心率e=.答案:2ba22ba23ba33333ca 方法二 特殊值法 1.方法诠释:当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的结论唯一或题设条件中提
4、供的信息暗示答 案是一个定值时,可以从题中变化的不定量中选取符合 条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特 殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.为保证答案的正确性,在利用此方法时,一般应多取几个特例.2.适用范围:求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法,但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题,对于开放性问题或者有多种答案的填空题,则不能使用这种方法.【典例2】(2016保定一模)设坐标原点为O,抛物线 y2=2x,过焦点的直线l交该抛物线于A,B两点,则 =_.OA OB【解析】本题隐含条件是 的值为定值,所以 的值与直线l的倾斜角无关,
5、所以取直线l:x=,OA OBOA OB12不妨令A点在x轴上方.于是 答案:-21x,11A(,1)B(,1)222y2x,由可得，13OA OB1.44 34【变式训练】(2016黄冈一模)若 的展开式中 含x的项为第6项，设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+anxn，则 a1+a2+an的值为_.2n1(x)x【解析】展开式 的通项为Tk+1=(x2)n-k=(-1)kx2n-3k，因为含x的项为第6项，所以k=5，2n-3k=1，解得n=8.令x=1，得a0+a1+a8=(1-3)8=28.又因为a0=1，所以a1+a2+a8=28-1=255.答案：255 2n1(x)xknC
6、k1()xknC方法三 图象分析法 1.方法诠释:对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目中的条件,作出符合题意的图形,并通过对图形的直观分析、判断,即可快速得出正确结果.这类问题的几何意义一般较为明显,如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、两点间距离等.2.适用范围:图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法,解题时既要考虑图形的直观,还要考虑数的运算.3.解题关键:准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系,利用几何图形中的相关结论求出结果.【典例3】(2016大庆一模)已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个 数
7、为_.20,0 x1,x42,x1,【解析】g(x)=(1)若f(x)+g(x)=1,则g(x)=-f(x)+1,在同一坐标系中分别作出函数y=g(x),y=-f(x)+1的图象,220,0 x1,2x,1x2,x6,x2.如图甲所示,其中A点在y=-f(x)+1的图象上,但不在y=g(x)的图象上.由于点A不在函数y=g(x)的图象上,故此时两函数图象只有2个不同的交点,即方程f(x)+g(x)=1有2个实根.(2)若f(x)+g(x)=-1,则g(x)=-f(x)-1,在同一坐标系中分别作出函数y=g(x),y=-f(x)-1的图象,如图乙所示.当x=2时,g(2)=-2,-1-2,故两函
8、数的图象也有2个不同的交点,即方程f(x)+g(x)=-1有2个实根.|ln 2|综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1的实根个数为4.答案:4【变式训练】(2016惠州一模)已知函数 f(x)=若f(x1)=f(x2)=f(x3)(x1,x2,x3互 不相等),且x1+x2+x3的取值范围为(1,8),则实数m的值 为_.22x1,x1,logxm,x1,【解析】作出f(x)的图象,如图所示,可令x1x2x3,则由图知点(x1,0),(x2,0)关于直线 x=-对称,所以x1+x2=-1.又因为1x1+x2+x38,所以2x31)的图象由0y3,12有 解得m=1.答案:1 22log2m
9、0,log9m3,方法四 构造法 1.方法诠释:用构造法解填空题的关键是由条件和结 论的特殊性构造出数学模型,从而简化推导与运算过程.构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的,首 先应观察题目,观察已知(例如代数式)形式上的特点,然后积极调动思维,联想、类比已学过的知识及各种数 学结构、数学模型,深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景),从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型,达到快速解题的目的.2.解题关键:构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用,需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向,通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型,从而转化为自己熟悉的问题.【典例4】(2016宜春二模)如图,已知球O的面上有四 点A,B,C,D,DA平面ABC,ABBC,DA=AB=BC=,则球 O的体积等于_.2【解析】如图,以DA,AB,BC为棱长构造正方体,设正方体的外接球球O的半径为R,则正方体的体对角线长即为球O的直径,所以CD=所以R=故球O的体积V=答案:2222222R，62，34 R6.36