1、86.3平面与平面垂直第一课时平面与平面垂直的判定新课程标准解读核心素养1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系数学抽象2.了解二面角的相关概念，平面与平面垂直的定义逻辑推理3.归纳出平面与平面垂直的判定定理数学运算如图所示，笔记本电脑在打开的过程中，会给人以面面“夹角”变大的感觉问题你认为应该怎样刻画不同的面面“夹角”呢？知识点一二面角1定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角2概念二面角的棱二面角的面记法AB(l)，二面角AB；二面角l；二面角PlQ；二面角PABQ3二面角的平面角(1)定义：在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为
2、垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角；(2)范围：0180；(3)直二面角：平面角是直角的二面角二面角与平面几何中的角有什么区别？提示：平面几何中的角是从一点出发的两条射线组成的图形；二面角是从一条直线出发的两个半平面所组成的图形1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补()(2)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系()答案：(1)(2)2.如图所示的二面角可记为()AlBMlNClMN Dl解析：选B根据二面角的记法规则可知B
3、正确故选B.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角D1ABD的平面角的大小是_解析：AB平面ADD1A1，ABAD，ABAD1，D1AD为二面角D1ABD的平面角易知D1AD45.答案：45知识点二平面与平面垂直1平面与平面垂直的定义(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直；(2)画法：(3)记作：2平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l，l图形语言1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)组成二面角的平面角的两边所在直线确定的平面与二面角的棱垂直()(2)若平面内的一条直线垂直于平
4、面内的任意一条直线，则.()(3)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则该直线也垂直于另一平面()答案：(1)(2)(3)2直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行 B可能重合C垂直 D相交不垂直解析：选C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.3在长方体ABCDA1B1C1D1的六个面中，与平面ABCD垂直的面有()A1个 B3个C4个 D5个解析：选C与平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个二面角大小的计算例1如图，四边形ABCD是正方形，PA平面ABCD，且PAAB.(1)求二面角APDC的大小；(2)求二面角BPA
5、C的大小解(1)PA平面ABCD，PACD.又四边形ABCD为正方形，CDAD.PAADA，CD平面PAD.又CD平面PCD，平面PAD平面PCD.二面角APDC的大小为90.(2)PA平面ABCD，ABPA，ACPA.BAC为二面角BPAC的平面角又四边形ABCD为正方形，BAC45.即二面角BPAC的大小为45.求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”注意作平面角时，要清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要，选择特殊点作平面角的顶点 跟踪训练如图，已知D，E分别是正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点，且A1D2B1EB1C1.设平面DEC1与平面A1
6、B1C1相交于直线l，求二面角A1lD的大小解：如图所示，延长DE交A1B1的延长线于点F，连接C1F，则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点，C1F为这两个平面的交线l.因此，所求二面角A1lD即为二面角DC1FA1.A1DB1E，且A1D2B1E，E，B1分别为DF，A1F的中点A1B1B1C1B1F，FC1A1C1.CC1平面A1B1C1，FC1平面A1B1C1，CC1FC1.又A1C1，CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线，FC1平面AA1C1C.DC1平面AA1C1C，FC1DC1.DC1A1是二面角DC1FA1的平面角由A1DB1C1知A1DA1C1，则DC1A145.故
7、所求二面角的大小为45.平面与平面垂直的证明例2(链接教科书第157页例7)如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明法一(利用定义证明)：因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS
8、为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二(利用判定定理)：因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC，所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面 跟踪训练如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ACB
9、90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.1下列命题中正确的是()A平面和分别过两条互相垂直的直线，则B若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则C若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则D若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则解析：选C当平面和分别过两条互相垂直且异面的直线时，平面和
10、有可能平行，故A错；由直线与平面垂直的判定定理知，B、D错，C正确2.如图，在四面体PABC中，ABC与PBC是边长为2的正三角形，PA3，D为PA的中点，则二面角DBCA的大小为_解析：取BC的中点，记为E，连接EA，ED，EP(图略)ABC与PBC是边长为2的正三角形，BCAE，BCPE，又AEPEE，AE，PE平面PAE，BC平面PAE.又DE平面PAE，BCDE，AED即二面角DBCA的平面角又由条件，知AEPEAB，ADPA，DEPA，sinAED.又易知AED为锐角，AED60，即二面角DBCA的大小为60.答案：603如图，在边长为a的菱形ABCD中，ABC60，PC平面ABCD，求证：平面PDB平面PAC.证明：PC平面ABCD，BD平面ABCD，PCBD.四边形ABCD为菱形，ACBD，又PCACC，PC，AC平面PAC，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PDB平面PAC.