1、成都市 2005 届高中毕业班第一次诊断性检测题 数学(理科)试题录制：四川省成都市新都一中 肖宏 电子信箱： 个人主页：http:/(开泉涤尘)参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P(AB)P(A)P(B)如果事件 A、B 相互独立，那么 P(AB)P(A)P(B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率为 P，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率：Pn(k)CnkPk(1P)nk 球的表面积公式：S4R2(其中 R 表示球的半径)正棱台、圆台的侧面积公式：S 台侧12(cc)l(其中 c、c 分别表示上、下底面周长，l 表示斜高或母线长)球的体积公式：V 球43R3(其中 R
2、表示球的半径)一、选择题：本大题共有 12 个小题，每小题 5 分；在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在机读卡的指定位置上.1.已知全集 U0，1，3，5，7，9，UA0，5，9，B3，5，7，那么 A UB A.5 B.1 C.D.1，5，7 解：A1，3，7，UB0，1，9，A UB1.选 B 2.设 f(x)k (x 3)x23x 3(x 3)，若 f(x)在 x 3处连续，则 k 的值等于 A.3 B.3 C.0 D.2 3 解：limn 3x23x 3k k2 3.选 D 3.若 f(x)f(x3)(x6)log2x (x6)，则 f(1)的值为
3、 A.1 B.2 C.3 D.4解：f(1)f(2)f(5)f(8)log283.选 C 4.若数列an是等比数列，则数列anan1 A.一定是等比数列 B.可能是等比数列，也可能是等差数列 C.一定是等差数列 D.一定不是等比数列 解：ana1qn1，故 anan1a1qn1(1q)，当 q1 时，anan1恒为 0，是等差数列但不是等比数列；当 q1(且 q0)时，anan1是公比为 q 的等比数列.选 B 5.已知 z1i，则1 z1z2等于 A.4535i B.4535i C.i D.i解：1 z1z21(1i)12i 2i12ii.选 D.6.对于平面 M 与平面 N，有下列条件：M
4、、N 都垂直于平面 Q；M、N 都平行于平面 Q；M 内不共线三点到 N 的距离相等；l、m 是 M 内的两条直线，且 lN，mN；l、m是异面直线，且 lM，lN，mM，mN.则可以判定平面 M 与平面 N 平行的条件的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4解：只有能判定 MN.选 B 7.对于函数 f(x)x22x，在使 f(x)M 成立的所有常数 M 中，我们把 M 的最大值 M1叫做 f(x)x22x 的下确界，则对于 a、bR，且 a、b 不全为 0，a2b2(ab)2的下确界是 A.12 B.2 C.14 D.4解：a2b22(ab2)2，所以 a2b2(ab)212，即 M12.
5、选 A 8.把直线 x2y0 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位后，与曲线 x2y22x4y0 正好相切，则实数 的值为 A.13 或 3 B.13 或3 C.13 或 3 D.13 或3解：平移后的直线方程为(x1)2(y2)0，即 x2y30圆的方程为(x1)2(y2)25于是|143|5 5，解得 13 或 3.选 C 9.已知向量 a(8，12 x)，b(x，1)，其中 x0，若(a2 b)(2 a b)，则 x 的值为 A.4 B.8 C.0 D.2解：a2 b(82x，12x2)，2 a b(16x，x1)由(a2 b)(2 a b)，得(82x，12x2)(16x，x1
6、)即82x(16x)12x2(x1)x4.选 A 10.有 5 支竹签，编号分别为 1，2，3，4，5，从中任取 3 支，以 表示取出竹签的最大号码，则 E 的值为 A.4 B.4.5 C.4.75 D.5解：3，4，5，P(3)1C53 110；P(4)C32C53 310；P(5)C42C5335E3 1104 3105354.5.选 B 11.同时具有以下性质：“最小正周期实；图象关于直线 x3对称；在6，3上是增函数”的一个函数是 A.ysin(x26)B.ycos(2x3)C.ysin(2x6)D.ycos(2x6)解：由性质排除 A，由性质排除 D，由性质排除 B，选 C.12.从
7、3，2，1，0，1，2，3，4 这 8 个数中任选 3 个不同的数组成二次函数 yax2bxc 的系数 a、b、c，则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线有 A.72 条 B.96 条 C.128 条 D.144 条 解：原点在抛物线内部等价于 ac0(与 b 无关)有 C31C41A22A61144 条.选 D 二、填空题：本大题共有 4 个小题，每小题 4 分，共计 16 分.13.二项式(3 x 2x)15 展开式中的常数项是第_项.解：Tr1C15r(2x1132)(r x)15rC15r(2)rx5 32rr 由 5r3r20，得 r6 故展开式中的常数项是第 7 项.14.已知 f(
8、x)ln(23x)5，g(x)f(x)，则 g(13)_.解：f(x)ln(23x)5，g(x)f(x)523x(3)153x2 g(13)15.15.培植 A、B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如右表所示(单位：克).如果药剂 A、B 至少各配一剂，且药剂 A、B 每剂售价分别为 2 元、3 元，现有原料甲 20 克，原料乙25 克，那么可以获得的最大销售额为_.原料 药剂 甲 乙 A 2 4 B 4 3 解：设药剂 A、B 分别配制 x 剂、y 剂，目标函数为 z2x3y 则2x4y204x3y25x1y1，作出可行域如图中阴影部分 平行移动直线 l：2x3yt(t 为参数)经过点
9、 A(4，3)时，zmax243317(元)16.给出下列命题：若命题 p：“x1”是真命题，则命题 q：“x1”是真命题；函数 y2x(x0)的反函数是 ylog2x(x0)；如果一个简单多面体的所有面都是四边形，那么 FV2(其中，F 为面数，V 为顶点数)；“a1 或 b5”的充分不必要条件是“ab6”.其中所有的真命题序号是_.解：为真；为假；因为反函数定义域应为 x(0，1)；为真，由 2E4F 代入 VFE2 可得.为真，考察其逆否命题即可.综上，应填.三、解答题：本大题共有 6 个小题，共计 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.(11 分)在ABC 中，已知
10、sin2Asin2B34，tanAtanB3，求角 C.解：sin2Asin2B34，sinAsinBcosAcosB 316 3 由 A、B(0，)，知 sinAsinB0，cosAcosB0 又 tanAtanB3，即sinAsinBcosAcosB3 6 由得：sinAsinB34cosAcosB14 cosCcos(AB)cosAcosBsinAsinB12 而 C(0，)，C3.18.(12 分)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，AA12AB，点 E 为 CC1 的中点，点 F 为 BD1 的中点.(1)求证：EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线；(2)求异面直线 BE
11、与 C1F 所成的角.解：设 AB1，则 AA12，(1)证法一：连结 ED1，CF，在 RtBCE 中，BE 2 在 RtEC1D1 中，ED1 2，故BED1 是等腰三角形 A A1 B1 C1 D1 B C D E F A(4，3)x y o 1 1 而 F 是 BD1 的中点，故 EFBD1.同理可得CFC1 也是等腰三角形，E 是 CC1 中点，故 EFCC1.EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线.证法二：F 是 BD1 中点，即 F 为长方体的中心，故 F 也是 AC1 的中点，连结 AC，有 EFAC 在长方体 AC1 中，ACCC1，故 EFCC1.而 BD1 在底面 ABC
12、D 上的射影为 BD，且底面 ABCD 为正方形，故 ACBD 由三垂线定理，得 ACBD1，即 EFBD1 EF 为 BD1 与 CC1 的公垂线.证法三：分别以 DA，DC，DD1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，B(1，1，0)，C(0，1，0)，C1(0，1，2)，D1(0，0，2)E、F 分别为 CC1 和 BD1 的中点，可得 E(0，1，1)，F(12，12，1)EF(12，12，0)，CC1(0，0，2)，BD1(1，1，2)于是：EFCC1 120(12)0020，EFBD1 12(1)(12)(1)020 即 EFCC1，且 EFBD1.EF 为 BD1 与
13、CC1 的公垂线.(2)解法一：取 BD 中点 O，连结 EO、BO F 是长方体的中心，C1FEO，故BEO 就是异面直线 BE 与 C1F 所成的角(或其补角)于是，BE 2，EOC1F 62，BO 22 cosC1FGBE2EO2BO22BEEO232122 2 62 32 3 32 C1FG6，即异面直线 BE 与 C1F 所成的角为6.解法二：BE(1，0，1)，C1F(12，12，1)BEC1F(1)120(12)1(1)32 A A1 B1 C1 D1 B C D E F x y z cos BEC1F|BE|C1F|322 62 32 56 即 BE 与 C1F 所成的角为6.
14、19.(12 分)袋中有 4 个白球，6 个红球，在抽取这些球的时候谁也无法看到球的颜色.现先由甲取出 3 个球，并且取出的球不再放回袋中，再由乙取出 4 个球，若规定取得白球多者获胜，试求甲获胜的概率.解：甲获胜包含以下三个事件：(1)甲取得三个白球必胜.其概率为 P1C44C 410 130；3(2)甲取出两个白球，而乙取出一白三红或四个红球，则甲也获胜，其概率为 P2C42C61(C21C53C51)C103 C71 314；6(3)甲取出一个白球，而乙取出四个红球，甲也获胜，其概率为 P3C41C62C44C103 C71 170 9 由于这三个事件互斥，所以甲获胜的概率为 P1P2P
15、3 130 314 1701142.12 20.(12 分)已知等差数列an的公差大于 0，且 a3，a5 是方程 x214x450 的两根，数列bn的前 n 项和为 Sn，且 Sn112 bn.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)记 cnanbn，求证：cn1cn.解：(1)因为 a3，a5 是方程 x214x450 的两根，且数列an的公差 d0，a35，a59，从而 d95532 ana5(n5)d2n1 3 又当 n1 时，有 b1S1112 b1，b123 当 n2 时，有 bnSnSn112(bn1bn)bnbn113(n2)数列bn是等比数列，且 b123，q13 bnb1q
16、n123n；8(2)由(1)知：cnanbn2(2n1)3n，cn12(2n1)3n1 10 cn1cn2(2n1)3n12(2n1)3n8(1n)3n10 cn1cn.12 21.(13 分)如图，已知点 P(3，0)，点 A、B 分别在 x 轴负半轴和 y轴上，且BPBA0，AC2BA，当点 B 在 y 轴上移动时，记点 C 的轨迹为 E.(1)求曲线 E 的方程；(2)已知向量 i(1，0)，j(0，1)，过点 Q(1，0)且以向量ik j(kR)为方向向量的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 M、N，若 D(1，0)，且DM DN 0，求 k 的取值范围.解：(1)设 A(a，0)(a
17、0)，B(0，b)，C(x，y)则AC(xa，y)，BA(a，b)，BP(3，b)，BPBA0，AC2BA，3a2b0 xa2ay2b 3 消去 a、b 得：y24x a0，x3a0 故曲线 E 的方程为 y24x(x0)5(2)设 R(x，y)为直线 l 上一点，由条件知QR(ik j)即(x1，y)(1，k)y P x B A C 0 x1yk，消去 得 l 的方程为：yk(x1)7 由yk(x1)y24xk2x22(k22)xk20 (*)直线 l 交曲线 E 与不同的两点 M、N 0 1k1 9 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则DM(x11，y1)，DN(x21，y2)M、N
18、 在直线 yk(x1)上，y1k(x11)，y2k(x21)又由(*)，有 x1x22(k22)k2，x1x22 DM DN(x11)(x21)y1y2 (x11)(x21)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(1k2)(x1x2)k21 8k24k2 由条件知：8k24k20 k212 12 由知：1k 22 或 22 k1.13 22.(14 分)对于函数 f(x)，若存在 x0R，使 f（x0）x0 成立，则称 x0 为 f（x）的不动点.已知 f（x）ax2(b1)xb1（a0）(1)若对 bR，f(x)恒有两个相异的不动点，求实数 a 的取值范围；(2)在(1)的条件下，若 y
19、f(x)的图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点，且 A、B 两点关于直线 ykx(a24a4)对称，求 b 的最小值.解：(1)函数 f(x)恒有两个相异的不动点，方程 ax2(b1)xb1x 恒有两个相异的实数根，即方程 ax2bxb10 恒有两个相异的实数根，b24a(b1)0 对 bR 恒成立 2 令 g(b)b24a(b1)，则b16a216a0 0a1 4(2)yf(x)的不动点就是方程 ax2(b1)xb1x 的两个根，也就是 yax2(b1)xb1 与 yx 交点的横坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)则 y1ax12(b1)x1b1 y2ax22(b1)
20、x2b1 且 x1x2ba，x1x2b1a y1y2x1x2a(x1x2)(x1x2)(b1)(x1x2)x1x2a(x1x2)b1 a(ba)b11 kAB1 A、B 两点关于直线 ykx(a24a4)对称 k 1kAB1 直线方程为 yx(a24a4)7 y1y2a(x1x2)22x1x2(b1)(x1x2)2(b1)a(ba)22b1a(b1)ba2(b1)bax1x2.AB 中点坐标为(b2a，b2a).由对称性知 AB 中点在直线 yx(a24a4)上 代入整理得：ba34a24a 10 b3a28a4 令 b0，得 a23或 a2 但 0a1，a23 12 又当 0a23时，b0；当23a1 时，b0 当 a23时，b 有最小值3227 14 更多试题，请光临我的个人主页：http:/