1、第6讲空间向量及运算考纲解读1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义2能应用空间两点间的距离公式，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示3掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，并能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直(重点、难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是空间立体几何的基础，一般不单独命题预测2021年会与多面体相结合进行考查，题型为解答题，解题时利用空间向量法解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.1.空间两点间的距离公式、中点公式(1)距离公式设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2
2、，z2)，则|A| .设点P(x，y，z)，则与坐标原点O之间的距离为|O| .(2)中点公式设点P(x，y，z)为P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的中点，则.2空间向量的数量积ab|a|b|cosa，b3空间向量的坐标运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(a，b均为非零向量)：1概念辨析(1)两向量夹角的范围与两异面直线所成的角的范围相同()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)若a，b，c是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量()(4)对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若xyz(其中x，y，zR)，则P，A，B，C四点共面
3、()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)如图，在四面体ABCD中，设G是CD的中点，则()等于()A.B.C.D.答案D解析因为G是CD的中点，所以2，所以().(2)若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b答案C解析A，B，D中三组向量都是共面向量，不能构成基底，c，ab，ab不共面可以构成基底(3)已知向量a(2，3,5)，b，且ab，则等于_答案解析因为ab，所以，所以.(4)已知a(1,2，2)，b(0,2,4)，则a，b夹角的余弦值为_答案解析cosa，b.题型 一空间向量的
4、线性运算如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)P是C1D1的中点，aacacb.(2)N是BC的中点，abababc.(3)M是AA1的中点，aabc，又ca.abc.用已知向量表示某一向量的注意事项(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解和运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义向量加法的多边形法则对空间向量仍然成立(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立提醒：灵活运用三角形法
5、则或平行四边形法则，把所求向量用已知基向量表示出来 1如图所示，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_(用a，b，c表示)答案abc解析因为D为BC的中点，所以()(bc)，又E为AD的中点，所以()abc.2如图所示，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA平面ABCD，点M在线段PC上，点N在线段PD上，且PM2MC，PNND，若xyz，则xyz_.答案解析()()()，所以xyz.题型 二共线向量与共面向量定理的应用1(2019郑州调研)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于_答案9解析由题意知cxayb，即(
6、7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.2(2019唐山质检)如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)k，k，kkk()k()kkk()(1k)k，由共面向量定理知向量与向量，共面(2)当k0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，故直线MN与平面ABB1A1不平行当00，则实数_.答案3解析(ab)22a22abb229，所以260(0)，所以3.组基础关1已知a(2,3，4)，b(4，3，2)，bx2a，则x等于()A(0,3，6
7、) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)答案B解析因为bx2a，所以x4a2b4(2,3，4)2(4，3，2)(0,6，20)2(2019黑龙江齐齐哈尔实验中学期中)设ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案C解析建立空间直角坐标系如图则(a,0,0)(a，a，a)a2，(a,0,0)(a，a,0)a2，(0，a,0)(0，a，a)a2，(a,0,0)(a，a,0)a2，故只有C正确3已知a(1,0,1)，b(x,1,2)，且ab3，则向量a与b的夹角为()A. B. C. D.答案D解析因为ab(1,0,1)(x,1,2)x
8、23，所以x1，所以|b|，又|a|，所以cosa，b.又0a，b，所以a，b.4对于空间一点O和不共线的三点A，B，C，有623，则()AO，A，B，C四点共面 BP，A，B，C四点共面CO，P，B，C四点共面 DO，P，A，B，C五点共面答案B解析解法一：因为623，所以，又1，所以A，B，C，P四点共面解法二：因为623，所以0()2()3()，所以230，所以，所以，共面，又三个向量有公共点P.所以P，A，B，C四点共面5在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：()；()；()2；().其中能够化简为向量的是()A B C D答案A解析()；()；()22；().综上，
9、符合题意故选A.6向量a(1,2，x)，b(2，y，1)，若|a|，且ab，则xy的值为()A2 B2 C1 D1答案C解析向量a(1,2，x)，b(2，y，1)，|a|，且ab，ab22yx0，解得x0，y1，xy1.7(2019唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a答案A解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，因为点M在AC1上且，所以(xa，y，z)(x，ay，az)，所以x，y，z.所以M，所以| a.8若向量a(1,
10、1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,0)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.答案1解析向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,0)，则ca(0,0，x)，2b(2,4,2)，又(ca)(2b)2，则2x2，解得x1.9(2019南昌调研)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且2，现用基底，表示向量，有xyz，则x，y，z的值分别为_答案，解析()，x，y，z.10(2019淄博模拟)如图，直角三角形OAC所在平面与平面交于OC，平面OAC平面，OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，平面内一动点满足PAB，则的
11、取值范围是_答案1，)解析平面OAC平面，作AOOC，则AO平面，过O在平面内作OC的垂线Ox，如图建立空间直角坐标系Oxyz.OAC为直角，OC4，B为OC的中点，且ABC，BCABOB2，ABO，OA，OB1，OO1，OC3，则O(0，1,0)，A(0,0，)，B(0,1,0)，C(0,3,0)，设P(x，y,0)，(x，y，)，(0,1，)，PAB，y32，x26y6，x2(y1)(y3)6y6y22y3y24y3(y2)211.组能力关1若a，b，c是空间的一个基底，且向量pxaybzc，则(x，y，z)叫向量p在基底a，b，c下的坐标，已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是
12、空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是()A(4,0,3) B(3,1,3)C(1,2,3) D(2,1,3)答案B解析设向量p在基底ab，ab，c下的坐标是(x，y，z)，则4a2b3cx(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，因为a，b，c不共面，所以解得x3，y1，z3，所以向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(3,1,3)2如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为_答案2或解析AB与CD成60角，60或120.又ABACCD1，A
13、CCD，ACAB，| ，|2或.BD的长为2或.3如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点设异面直线EM与AF所成的角为，则cos的最大值为_答案解析以A为坐标原点，射线AB，AD，AQ分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系设正方形ABCD和ADPQ的边长为2，则E(1,0,0)，F(2,1,0)，M(0，y,2)(0y2)所以(2,1,0)，(1，y,2)所以2y，|，|.所以cos.令2yt，则y2t，且t0,2所以cos.当t0时，cos0；当t0时，cos，由t(0,2，得，所以 ，所以0cos.综上所述，0cos，故cos的最大值为.4如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.(1)求证：A，E，C1，F四点共面；(2)若xyz，求xyz的值解(1)证明：因为()()，所以A，E，C1，F四点共面(2)因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.