1、第十二章推理与证明、算法、复数第二节直接证明与间接证明A级基础过关|固根基|1.(2019届淮南二中模拟)用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，下列假设正确的是()A三个内角中至少有一个钝角B三个内角中至少有两个钝角C三个内角都不是钝角D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选B由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，应假设“三个内角中至少有两个钝角”故选B2欲证 ，只需证()A()2()2B()2()2C()2()2D()2()2解析：选A欲证，只需证，只需证()2()2，故选A3(20
2、19届玉溪模拟)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析：选B由数学归纳法的证明步骤可知，若已假设nk(k2，且为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证nk2时等式成立故选B4若用数学归纳法证明123n3，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()Ak31B(k1)3CD(k31)(k32)(k33)(k1)3解析：选D当nk时，等式左端12k3，当nk1时，等式左端12k3(k31)(k32)(k33)(k1)3，增加了(k31)(k32)
3、(k33)(k1)3.故选D5(2019届阜新调研)设x，y，z为正实数，ax，by，cz，则a，b，c三个数()A至少有一个不大于2B都小于2C至少有一个不小于2D都大于2解析：选C假设a，b，c都小于2，则abc6，而abcxyz2226，与abc0，证明：abc.证明：a，b，c0，根据基本不等式，有b2a，c2b，a2c.三式相加得，abc2(abc)，即abc，当且仅当abc时取等号7已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.证明：因为x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，所以1，1，1，又x，y，z为正数，由，得8.8若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y远离
4、m.(1)若x21比1远离0，求x的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a，b，证明：a3b3比a2bab2远离2ab.解：(1)由题意知，|x21|1，即x211或x21或x2ab，a2bab22ab.因为|a3b32ab|a2bab22ab|(ab)(ab)20，所以|a3b32ab|a2bab22ab|，即a3b3比a2bab2远离2ab.B级素养提升|练能力|9.已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：要证明2a3b32ab2a2b成立，只需证2a3b32ab2a2b0，即2a(a2b2)b(a2b2)0，即(ab)(ab)(2ab)0.ab0，ab0，ab0，2ab0，从
5、而(ab)(ab)(2ab)0成立，2a3b32ab2a2b.10设实数c0，整数p1，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.证明：当p2时，(1x)212xx212x，原不等式成立假设当pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx成立，则当pk1时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1，x0时，对一切整数p1，不等式(1x)p1px均成立11已知数列an满足a1a2，an(n2，nN*)(1)求证：对任意nN*，an2恒成立；(2)判断数列an的单调性，并说明你的理由解：(1)证明：当n1时，a1a2，结论成立；假设nk(k1)时结论成立，即ak2，则nk1时，ak12，所以当nk1时，结论也成立故由及数学归纳法原理，知对一切的nN*，都有an2成立(2)an是单调递减的数列理由：因为aaan2a(an2)(an1)，又an2，所以aa0，所以an1an，所以an是单调递减的数列