1、第十一节 导数在函数研究中的应用 1函数的单调性了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2函数的极值了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)知识点一 知识点一 知识点二 利用导数研究函数的单调性 1函数 f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若，则 f(x)在这个区间上是增加的(2)若，则 f(x)在这个区间上是减少的(3)若，则 f(x)在这个区间内是常数f(x)0f(x)0，则 f(x)在这个区间上单调递增；若 f(x)0 或 f
2、(x)0，故单调增区间是(0，)1函数 f(x)xeln x 的单调递增区间为()A(0，)B(，0)C(，0)和(0，)DR 自测练习A知识点一 知识点一 知识点二 解析 试题 f(x)x3x2mx1，f(x)3x22xm.又f(x)在 R 上是单调增函数，f(x)0 恒成立，412m0，即 m13.2若函数 f(x)x3x2mx1是 R 上的单调增函数，则 m 的取值范围是_13，知识点二 知识点一 知识点二 利用导数研究函数的极值 1函数的极大值在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都x0 点的函数值，称点 x0 为函数 yf(x)的极大值点，其函数值
3、f(x0)为函数的极大值2函数的极小值在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都x0 点的函数值，称点 x0 为函数 yf(x)的极小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为极值点小于大于极值知识点二 知识点一 易误提醒 f(x0)0 是 x0 为 f(x)的极值点的非充分非必要条件例如，f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点；又如 f(x)|x|，x0 是它的极小值点，但 f(0)不存在知识点二 解析 试题 导函数 f(x)的图象与 x 轴的交点中，左侧图象在 x 轴下方，右侧图象在 x 轴上方的只有一个，
4、故选 A.3.函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A1 个B2 个C3 个D4 个A知识点二 知识点一 自测练习知识点二 解析 试题 f(x)3x22ax3，由题意知 f(3)0，即 3(3)22(3)a30，解得 a5.4若函数 f(x)x3ax23x9在 x3 时取得极值，则 a 等于()A2 B3C4 D5D知识点二 知识点一 知识点二 考点一 典题悟法 解析 试题 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)1x a.若a0，则f(x)0，所以 f(x)在(0，)单调递增若 a0，则 当
5、 x 0，1a 时，f(x)0；当 x1a，时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为 f1a ln1aa11a ln aa1.因此 f1a 2a2 等价于 ln aa10.令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)单调递增，g(1)0.于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0.因此，a 的取值范围是(0,1)(2015 高 考 全国卷)已知函数 f(x)ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求 a 的取值范围典题悟法 演练冲关 考点一 典题悟法 演练冲关 利用导数研究函数的单调性应注意两点(1)在
6、区间内 f(x)0(f(x)0)是函数 f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件(2)可导函数 f(x)在(a，b)内是增(减)函数的充要条件是：x(a，b)，都有 f(x)0(f(x)0)，且 f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零考点一 解析 试题 函数 f(x)mln x12x2 的定义域是(0，)f(x)mxxmx2x.当 m0 时，f(x)x2x x0时，令f(x)0，得：x m或 m(舍去)当x(0，m)时，f(x)0，f(x)在(0，m)上是增函数当x(m，)时，f(x)0时，f(x)的单调递增区间为(0，m)，单调递减区间为(m，)1已知函数 f(x)mln x1
7、2x2(mR)，求函数f(x)的单调区间典题悟法 演练冲关 考点二 典题悟法 已知单调性求参数范围|演练冲关 解析 试题 (1)当 a32时，f(x)ex21ex32x，f(x)12ex(ex)23ex2 12ex(ex1)(ex2)，令 f(x)0，得 ex1 或 ex2，即 x0 或 xln 2；令 f(x)0，得 xln 2；令 f(x)0，则 0 xln 2.f(x)在(，0，ln 2，)上单调递增，在(0，ln 2)上单调递减(2015福州模拟)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1,1上为单调函数，求实数
8、 a 的取值范围考点二 典题悟法 演练冲关 解析 试题 (2)f(x)ex21exa，令 ext，由于 x1,1，t1e，e.令 h(t)t21tt1e，e，h(t)121t2t222t2，当 t1e，2 时，h(t)0，函数 h(t)为单调增函数故 h(t)在1e，e 上的极小值点为 t 2.(2015 福 州 模拟)已知函数 f(x)ex21exax(aR)(1)当 a32时，求函数 f(x)的单调区间；(2)若函数 f(x)在1,1上为单调函数，求实数 a 的取值范围考点二 典题悟法 演练冲关 解析 试题 又 h(e)e21e0，f(x)在 R 上为增函数；当 a0 时，由 f(x)0
9、得 xln a，则当 x(，ln a)时，f(x)0，函数 f(x)在(ln a，)上为增函数(2)当 a1 时，g(x)(xm)(exx)exx2x，g(x)在(2，)上为增函数，g(x)xexmexm10 在(2，)上恒成立，即 mxex1ex1 在(2，)上恒成立，令 h(x)xex1ex1，x(2，)，2已知函数 f(x)exax(aR，e 为自然对数的底数)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 a1，函数 g(x)(xm)f(x)exx2x 在(2，)上为增函数，求实数 m的取值范围考点二 典题悟法 演练冲关 解析 试题 h(x)ex2xex2exex12exexx2ex12.
10、令 L(x)exx2，L(x)ex10 在(2，)上恒成立，即 L(x)exx2 在(2，)上为增函数，即 L(x)L(2)e240，h(x)0，即 h(x)xex1ex1 在(2，)上为增函数，h(x)h(2)2e21e21，m2e21e21.2已知函数f(x)exax(aR，e 为自然对数的底数)(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若 a1，函数 g(x)(xm)f(x)exx2x 在(2，)上为增函数，求实数m 的取值范围考点三 典题悟法 演练冲关 解析 试题 f(sin x)sin2xasin xbsin x(sin xa)b，2x2.f(sin x)(2sin xa)cos x，
11、2x2.因为2x0，22sin x2.a2，bR 时，函数 f(sin x)单调递增，无极值a2，bR 时，函数 f(sin x)单调递减，无极值 设函数 f(x)x2axb.讨论函数 f(sin x)在2，2内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值利用导数研究极值|考点三 典题悟法 演练冲关 解析 试题 对于2a2，在2，2 内存在唯一的x0，使得 2sin x0a.2xx0时，函数 f(sin x)单调递减；x0 x2时，函数 f(sin x)单调递增因此，2a0，当 x(，0)时，g(x)0；当 x(0，x0)时，g(x)a，f(x)0，f(x)在 x0 处取得极大值，这与题设矛盾若
12、x00，当 x(，0)时，g(x)0；当 x(0，)时，g(x)a，f(x)0，f(x)在 x0 处不取极值，这与题设矛盾若 x0a，f(x)a，f(x)0，f(x)在 x0 处取得极小值综上所述，x00，ag(x0)g(0)0，a 的取值范围是(，0).3(2015太原一模)已知函数 f(x)(x2 ax a)ex x2，aR.(1)若函数 f(x)在(0，)上单调递增，求 a 的取值范围；(2)若函数 f(x)在 x0 处取得极小值，求 a 的取值范围思想方法系列 思维点拨 试题 思维点拨(1)求 f(x)后判断 f(x)在(，)上的单调性，可求极值(2)分类讨论 f(x)在(，)的单调性
13、，利用极值建立所求参数 a 的不等式求解【典例】(2015贵阳期末)已知函数 f(x)axaex(aR，a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围8.分类讨论思想在导数中的应用思想方法系列 解析 试题 (1)当 a1 时，f(x)x1ex，f(x)x2ex.由 f(x)0，得 x2.当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)f(x)0f(x)极小值 所以函数 f(x)的极小值为 f(2)1e2，函数 f(x)无极大值【典例】(2015贵阳期末)已知函数 f(x)axaex(aR，a0)(1)
14、当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围思想方法系列 解析 试题 (2)F(x)f(x)aexaxaexe2xax2ex.当 a0，解得 ae2，所以此时e2a0 时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极大值 因为 F(2)F(1)0，且 F110a e110a 10e110a e10e110a2 时，F(x)ax1ex11，当 x2 时，令 F(x)ax1ex10，即 a(x1)ex0，由于 a(x1)exa(x1)e2，令 a(x1)e20，得 x1e2a，即 x1e2a时，F(x)0，即 F(x)存在零点)综上所述，所求实数 a 的取值范围是(e2,0)【典例】(2015贵阳 期 末)已 知 函 数f(x)axaex(aR，a0)(1)当 a1 时，求函数 f(x)的极值；(2)若函数 F(x)f(x)1 没有零点，求实数 a 的取值范围思想点评 分类讨论思想在导数研究函数的应用中运用普遍常见的分类讨论点有：(1)f(x)0 是否有根(2)若 f(x)0 有根，根是否在定义域内(3)若 f(x)0 有两根，两根大小比较问题.思想方法系列 课时 跟踪检测 本课内容结束