1、63.4平面向量数乘运算的坐标表示新课程标准解读核心素养1.掌握数乘向量的坐标运算数学运算2.能用坐标表示平面向量共线的条件逻辑推理已知a(x1，y1)，b(x2，y2)问题(1)若ab，则它们的坐标之间有什么关系？(2)a(R)的坐标与a的坐标之间有什么关系？知识点一平面向量数乘的坐标运算若a(x，y)，R，则：a(x，y)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标已知向量a(2，4)，b(1，1)，则2ab_解析：因为a(2，4)，b(1，1)，所以2ab(22(1)，241)(5，7)答案：(5，7)知识点二平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0
2、.向量a，b共线的充要条件是x1y2x2y101ab(b0)ab. 这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系2abx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)这是代数运算，由于不需引进参数，从而简化了代数运算3ab，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)且y10，y20. 即两向量的对应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误 两向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共线的坐标条件能表示成吗？提示：不能，当x2，y2有一者为零时，比例式没有意义已知向量a(2，1)，b(x，2)，若ab，则ab_解析：ab，x4，ab(2，1)(4，2)(
3、2，1)答案：(2，1)平面向量数乘的坐标运算例1(链接教科书第31页例6、第32页例9)(1)已知向量a，b的坐标分别是(1，2)，(3，5)，求ab，ab，3a，2a3b的坐标；(2)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，且3，2，求M，N及的坐标解 (1)ab(1，2)(3，5)(2，3)；ab(1，2)(3，5)(4，7)；3a3(1，2)(3，6)；2a3b2(1，2)3(3，5)(2，4)(9，15)(7，11)(2)由A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，可得(2，4)(3，4)(1，8)，(3，1)(3，4)(6，3)，所以33(1，8)(3，24)，22(6，3)
4、(12，6)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x13，y14)(3，24)，x10，y120；(x23，y24)(12，6)，x29，y22，所以M(0，20)，N(9，2)，(9，2)(0，20)(9，18)平面向量坐标运算的技巧(1)进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系；(2)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算法则进行计算；(3)在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用 跟踪训练1已知向量a(5，2)，b(4，3)，若c满足3a2bc0，则c()A(23，12)B(23，12)C(7，0
5、) D(7，0)解析：选A由3a2bc0，c3a2b3(5，2)2(4，3)(23，12)，c(23，12)2已知M(3，2)，N(5，1)，则P点坐标为_解析：设P(x，y)，(x3，y2)，(8，1)，由，得解得即P.答案：向量平行(共线)的判定例2(链接教科书第31页例7)(1)下列各组向量是平行向量的有_(填序号)a，b(2，3)；a(0.5，4)，b(8，64)；a(2，3)，b(3，4)；a(2，3)，b.(2)已知A(2，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，3)，判断与是否共线？如果共线，它们的方向是相同还是相反？(1)解析(3)(2)0，ab.0.5644(8)32326
6、40，a，b不平行24338910，a，b不平行2234480，a，b不平行答案(2)解(0，4)(2，1)(2，3)，(5，3)(1，3)(4，6)法一：(2)(6)340，与共线，通过观察可知，和方向相反法二：2，与共线且方向相反向量共线的判定方法 跟踪训练已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(，1)，若c(2ab)，则()A2 B1C D.解析：选Aa(1，2)，b(2，2)，2ab(4，2)c(2ab)，解得2.故选A.三点共线问题例3(链接教科书第32页例8)如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD与BC相交于点M，求点M的坐标解(0，5)，C.(4，3)，D.设M(x
7、，y)，则(x，y5)，x2(y5)0，即7x4y20.又，x40，即7x16y20.联立解得x，y2，故点M的坐标为.利用向量解决三点共线问题的基本思路是将三点共线转化为两向量共线，即A，B，C三点共线与共线方法有两种：(1)看是否存在实数，使得；(2)借助坐标，看与的坐标是否对应成比例或交叉相乘差为0. 跟踪训练知(k，2)，(1，2k)，(1k，1)，且相异三点A，B，C共线，则实数k_解析：(1k，2k2)，(12k，3)，由题意可知，所以(3)(1k)(2k2)(12k)0，解得k或k1，当k1时，A，B重合，舍去，故k.答案：共线向量与线段分点坐标的计算例4已知P1(x1，y1)，
8、P2(x2，y2)，P是直线P1P2上一点，且(1)，求点P的坐标解设P(x，y)，则(xx1，yy1)，(x2x，y2y)由，得(xx1，yy1)(x2x，y2y)，于是因为1，所以因此，点P的坐标为.若，则P点位置与的取值范围之间的对应关系如下(P0为线段P1P2的中点)：P点位置的范围P1P2的延长线上1外分点P2P1的延长线上10与P1重合0P1P0之间01与P2重合不存在 跟踪训练若过点P1(2，3)，P2(6，1)的直线上一点P使|31，则点P的坐标为_解析：设O为坐标原点，连接OP，OP1，OP2(图略)|31，|3|，3或3.当3，即3时，(8，3)当3，即3时，(5，0)故点
9、P的坐标为(8，3)或(5，0)答案：(8，3)或(5，0)1已知向量a(1，2)，2ab(3，2)，则b()A(1，2) B(1，2)C(5，6) D(2，0)解析：选Ab(3，2)2a(3，2)(2，4)(1，2)故选A.2若A(2，1)，B(4，2)，C(1，5)，则2_解析：A(2，1)，B(4，2)，C(1，5)，(2，3)，(3，3)，2(2，3)2(3，3)(2，3)(6，6)(4，9)答案：(4，9)3已知向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，则实数x的值为_解析：向量a(3x1，4)与b(1，2)共线，2(3x1)410，解得x1.答案：14已知点A(3，4)与点B(1，2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标解：设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P点坐标为(5，8)综上所述，点P的坐标为或(5，8).