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2022届高考人教数学(理)一轮课时练:第二章 第十二节 第二课时 导数与函数的零点问题 WORD版含解析.doc

1、A组基础对点练1(2021江西临川一中模拟)已知函数f(x)4ln xxa在区间(0,2)上至少有一个零点,则实数a的取值范围是()A(0,2) B2,4ln 32)C D2,)解析:由函数f(x)在区间(0,2)上至少有一个零点,可得a4ln xx在x(0,2)上有解设g(x)4ln xx,则g(x)1.当0x1时,g(x)0,g(x)单调递减;当1x0,g(x)单调递增因此可得g(1)2为极小值,且为最小值,且x0时,g(x),所以a2.答案:D2(2021四川乐山模拟)已知函数ya2ln x的图象上存在点P,函数yx22的图象上存在点Q,且P,Q关于原点对称,则实数a的取值范围是()A3

2、,e2 e2,)C D解析:函数yx22的图象关于原点对称的图象对应的解析式是yx22.由题意可知函数ya2ln x的图象与函数yx22的图象有交点,即方程a2ln xx22有解,所以ax222ln x有解令f(x)x222ln x,x,则f(x).当x时,f(x)0,f(x)单调递增,故当x1时,f(x)取得最小值3,而f4,f(e)e2,所以当xe时,f(x)取得最大值e2,故a3,e2.答案:A3(2020江西宜春期末)已知奇函数f(x)是R上的单调函数若函数yf(x)f(ex)恰有两个零点,则实数的取值范围是()A BC D解析:奇函数f(x)是R上的单调函数,且函数yf(x)f(ex

3、)恰有两个零点,f(x)f(ex)0恰有两个解,即f(x)f(ex)f(ex),即xex,即方程有两个不同的实数解令g(x),则g(x).当x(,1)时,g(x)0,g(x)单调递增;当x(1,)时,g(x)0时,f(x)x2x ln x,则关于x的方程f(x)a满足()A对任意aR,恰有一解B对任意aR,恰有两个不同解C存在aR,有三个不同解D存在aR,无解解析:由函数f(x)是定义在R上的奇函数可知f(0)0.当x0时,f(x)x2x ln x,则当x0时,f(x)x1ln x令g(x)x1ln x,则g(x)1,可知当x(0,1)时,g(x)0,从而f(x)f(1)0,故x0时,f(x)

4、x2x ln x是增函数根据函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,令g(x)0,得x,则函数yg(x)在区间(,)上单调递增,在区间(,)上单调递减,在区间(,)上单调递增,因此函数yg(x)在x处取得极大值,在x处取得极小值由题意知g()0,g().答案:D6(2021重庆一中期中测试)若函数f(x)axln x有两个不同的零点,则实数a的取值范围是()A BC D解析:法一:函数f(x)axln x,其中x0.令f(x)0得axln x当直线yax和yln x的图象相切时,作图如图所示设切点为P(x0,y0),则由y得曲线yln x在点P的切线方程为yy0(xx0).又因为该直线过原

5、点(0,0),所以y01,所以ln x01,解得x0e,所以切线斜率为,即当a时,直线yax与曲线yln x相切由图可知,实数a的取值范围是.法二:由f(x)axln x0得a.设g(x)(x0),则g(x).由g(x)0得0xe,此时函数g(x)单调递增;由g(x)e,此时函数g(x)单调递减即当xe时,函数g(x)取得极大值g(e).当x1时,0g(x),当0x1时,g(x)0,则函数g(x)的大致图象如图所示由图象可知,当a时,axln x0有两个不同的解,即函数f(x)有两个不同的零点答案:C7若函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点,求实数a的取值范围解析:令f(x)axx20

6、,可得axx2.当x0时,函数yax与yx2的图象有一个交点;当x0时,两边同时取自然对数得x ln a2ln x,即ln a,由题意得函数yln a与g(x)的图象在(0,)上有两个不同的交点,g(x),令g(x)0,解得0xe,则g(x)在(0,e)上单调递增,令g(x)0,解得xe,则g(x)在(e,)上单调递减,则g(x)maxg(e),ln a,1ae时有两个交点;又x0时,必有一个交点,1ae时,函数f(x)axx2(a1)有三个不同的零点8已知二次函数f(x)的最小值为4,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3,xR(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)4ln

7、x的零点个数解析:(1)f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3,xR,设f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a,且a0,f(x)minf(1)4a4,a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)由(1)知g(x)4ln xx4ln x2,g(x)的定义域为(0,),g(x)1,令g(x)0,得x11,x23.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1(1,3)3(3,)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时,g(x)g(1)40,当x3时,g(e5)e52022512290.又g(x)在(3,)上单调递增,因而g(x)在(3,)

8、上只有1个零点,故g(x)仅有1个零点B组素养提升练1已知函数f(x)ax2x(1ln x)(aR).(1)当a时,判断f(x)的增减性并予以证明(2)若f(x)有两个极值点求实数a的取值范围;证明:1f(x)极大值.(注:其中e为自然对数的底数)解析:因为f(x)的定义域为(0,),且f(x)2ax1ln xx2axln x.(1)当a时,f(x)在(0,)上单调递增证明如下:当a时,f(x)xln x,又曲线yln x过原点的切线是yx,显然当x0时,xx,故f(x)xln xx0,所以当a时,f(x)在(0,)上单调递增(2)f(x)有两个极值点f(x)2axln x有两个变号正零点,即

9、2axln x有两个不同的正实数根直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点,因为曲线g(x)ln x过原点的切线为yx,切点为M(e,1),所以直线y2ax与曲线g(x)ln x有两个不同的交点时,02a,故a.证明:若f(x)有两个极值点x1,x2,其中x1x2,由知当x(0,x1) 时,f(x)0;当x(x1,x2)时,f(x)0;当x(x2,)时,f(x)0,所以f(x)极大值f(x1)axx1(1ln x1).又f(x1)2ax1ln x10,解得a,故f(x)极大值f(x1)x1x1ln x1,由知x1(1,e),则f(x1)1(ln x11)(1ln x1)0,故f(x1

10、)x1x1ln x1在 (1,e)上单调递增,所以1f(1)f(x1)f(e),即1f(x)极大值.2(2020德州中学模拟)已知函数f(x)mx2xln x.(1)若在函数f(x)的定义域内存在区间D,使得该函数在区间D上为减函数,求实数m的取值范围;(2)当0m时,若曲线C:yf(x)在点x1处的切线l与曲线C有且只有一个公共点,求m的值或取值范围解析:(1)f(x)2mx1,即2mx2x10时,由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0,故需且只需0,即18m0,解得m,故0m.综上所述,实数m的取值范围为.(2)f(1)m1,f(1)2m,故切线方程为ym12m(x1),即y2mxm1.

11、从而方程mx2xln x2mxm1在(0,)上有且只有一解设g(x)mx2xln x(2mxm1),则g(x)在(0,)上有且只有一个零点又g(1)0,故函数g(x)有零点x1.则g(x)2mx12m.当m时,g(x)0,又g(x)不是常数函数,故g(x)在(0,)上单调递增函数g(x)有且只有一个零点x1,满足题意当0m1,由g(x)0,得0x;由g(x)0,得1x.故当x在(0,)上变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(0,1)1g(x)00g(x)极大值极小值根据上表知g0,故在上,函数g(x)又有一个零点,不满足题意综上所述,m.3(2021黑龙江大庆模拟)已知函数f(x)x

12、22a ln x(aR).(1)当a时,点M在函数yf(x)的图象上运动,直线yx2与函数yf(x)的图象不相交,求点M到直线yx2距离的最小值;(2)讨论函数f(x)零点的个数,并说明理由解析:(1)函数f(x)x22a ln x的定义域为(0,).当a时,f(x)x2ln x,则f(x)2x.由题知,函数yf(x)的图象在点M处的切线与直线yx2平行时,点M到直线yx2的距离最小令f(x)1,解得x1或x(舍).又f(1)1,则点M为(1,1).点M(1,1)到直线xy20的距离为,故点M到直线yx2距离的最小值为.(2)由f(1)1知,1不是函数f(x)的零点由f(x)0,得2a(x0且

13、x1).设g(x)(x0且x1),则问题转化为讨论函数yg(x)的图象和直线y2a的图象交点的个数g(x)(x0且x1),令g(x)0,解得x.当0x1或1x时,g(x)0,当x时,g(x)0,故g(x)在(0,1),(1,)上单调递减,在(,)上单调递增,故g(x)极小值g()2e.又0x1时,g(x)0,x1时,g(x)0,故当2a0或2a2e,即a2e,即ae时,有2个交点;当02a2e,即0ae时,没有交点故当ae时,函数f(x)有2个零点;当0a0,f(x)2ax2a.当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,f(x)0,f(x)在(0,)上单调递增;当a0,解得0x,令f(x),故f(x)在上单调递增,在上单调递减综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增;当a0,g(x)单调递增;当x(1,)时,g(x)0,g(x)单调递减x(0,2时,g(x)的值域为.方程f(x)g(x0)(x0(0,2)在(0,e上有两个不同的实数根,a0,且满足由0e,得a2,得ln (a)10,ln (a)10.令h(x)ln (x)1(x2,a(e,0).综上,实数a的取值范围为.

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