1、课时作业78不等式的证明1已知a0，b0，c0，且abc1.(1)求证：a2b2c2；(2)求证：1.证明：(1)a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，a2b2c2abbcca，(abc)21，a2b2c22ab2bc2ca1，3(a2b2c2)1，即a2b2c2.(2)b2a，c2b，a2c，(abc)2(abc)，即abc，abc1，1.2已知函数f(x)|x3|.(1)求不等式f(x)2a22b2.解：(1)当x3时，|x3|x1等价于x3x1，不等式恒成立，所以x3；当x3时，|x3|x1等价于3x1，所以1x3，综上可知，不等式f(x)1(2)证明：因为(a21)(b21)
2、(2a22b2)(ab)2a2b212a22b2(ab)2a2b21(a21)(b21)，又因为a，bM，所以a1，b1，因此a21，b21，a210，b210，所以(a21)(b21)0，所以原不等式(a21)(b21)2a22b2成立3(2020昆明市教学质量检测)已知函数f(x)|2x1|.(1)解不等式f(x)f(x1)4；(2)当x0，xR时，证明：f(x)f()4.解：(1)不等式f(x)f(x1)4等价于|2x1|2x1|4，等价于或或解得x1或x1，所以原不等式的解集是(，11，)(2)证明：当x0，xR时，f(x)f()|2x1|，因为|2x1|2|x|4，当且仅当即x1时等
3、号成立，所以f(x)f()4.4已知函数f(x)|x4|，不等式f(x)8|2x2|的解集为M.(1)求M；(2)设a，bM，证明：f(ab)f(2a)f(2b)解：(1)将f(x)|x4|代入不等式整理得|x4|2x2|8.当x4时不等式转化为x42x28，解得x，所以此时x4；当4x8，解得x2，所以此时4x8，解得x2，所以此时x2，综上，Mx|x2(2)证明：因为f(2a)f(2b)|2a4|2b4|2a42b4|2a2b|，所以要证f(ab)f(2a)f(2b)，只需证|ab4|2a2b|，即证(ab4)2(2a2b)2，即证a2b28ab164a28ab4b2，即证a2b24a24
4、b2160，即证(a24)(b24)0.因为a，bM，所以a24，b24，所以(a24)(b24)0成立，所以原不等式成立5设x，y，zR，且xyz1.(1)求(x1)2(y1)2(z1)2的最小值；(2)若(x2)2(y1)2(za)2成立，证明：a3或a1.解：(1)由于(x1)(y1)(z1)2(x1)2(y1)2(z1)22(x1)(y1)(y1)(z1)(z1)(x1)3(x1)2(y1)2(z1)2，故由已知得(x1)2(y1)2(z1)2，当且仅当x，y，z时等号成立所以(x1)2(y1)2(z1)2的最小值为.(2)证明：由于(x2)(y1)(za)2(x2)2(y1)2(za
5、)22(x2)(y1)(y1)(za)(za)(x2)3(x2)2(y1)2(za)2，故由已知得(x2)2(y1)2(za)2，当且仅当x，y，z时等号成立因此(x2)2(y1)2(za)2的最小值为.由题设知，解得a3或a1.6(2020成都市第二次诊断性检测)已知函数f(x)|xm|x2m|的最大值为3，其中m0.(1)求m的值；(2)若a，bR，ab0，a2b2m2，求证：1.解：(1)m0，f(x)|xm|x2m|当x2m时，f(x)取得最大值3m，3m3，m1.(2)证明：由(1)，得a2b21，2ab.a2b212ab，当且仅当ab时等号成立0ab.令h(t)2t,0t，则h(t)在(0，上单调递减，h(t)h()1.当0ab时，2ab1.1.
