1、上海市黄浦区2021届高三数学下学期4月学业等级考调研测试（二模）试题(完卷时间：120分钟 满分：150分) 2021.4考生注意：1每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2答卷前，考生务必将姓名等相关信息在答题卷上填写清楚，并在规定的区域贴上条形码；3本试卷共21道试题，满分150分；考试时间120分钟一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1已知集合，则 2方程的解 3已知某球体的表面积为，则该球体的体积是 4已知函数的定义域为，函数
2、是奇函数，且，若，则 5.已知复数的共轭复数为，若(其中为虚数单位)，则 .6已知长方体的棱，则异面直线与所成角的大小是 .（结果用反三角函数值表示）第6题图7已知随机事件和相互独立，若，(表示事件的对立事件) ，则= .8.无穷等比数列的前项和为，且，则首项的取值范围是 .9已知的二项展开式中第三项的系数是，则行列式中元素的代数余子式的值是 .10已知实数满足线性约束条件 则目标函数的最大值是 .11某企业开展科技知识抢答抽奖活动，获奖号码从用这十个数字组成没有重复数字的三位数中产生，并确定一等奖号码为：由三个奇数字组成的三位数，且该三位数是的倍数. 若某位职工在知识抢答过程中抢答成功，则该
3、职工随机抽取一个号码能抽到一等奖号码的概率是 .(结果用数值作答)12已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分13. 已知空间直线和平面，则“直线在平面外”是“直线平面”的 ( ). ()充分非必要条件 ()必要非充分条件 ()充要条件 ()非充分非必要条件14某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下： 甲：21、22、23、25、28、29、30、30； 乙：14、16、23、26、28、30、33、38.则下列描述
4、合理的是 ( ). ()甲队员每场比赛得分的平均值大 ()乙队员每场比赛得分的平均值大 ()甲队员比赛成绩比较稳定 ()乙队员比赛成绩比较稳定15已知点是直线和圆的公共点，过点作圆的切线，则切线 的方程是( ). () () () () 16已知是正实数，的三边长为，点是边(与点不重合)上任一点，且. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）.(A) (B) (C) (D) 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知长方体中，棱，点是棱的中点. (1
5、)联结，求三棱锥的体积； (2)求直线和平面所成角的大小. (结果用反三角函数值表示)18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知中，内角、所对边长分别为、，且，(1)求正实数的值；(2)若函数()，求函数的最小正周期、单调递增区间19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.（1）请你为该企业构建一个关
6、于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 椭圆的右顶点为，焦距为，左、右焦点分别为，为椭圆上的任一点.(1)试写出向量的坐标(用含的字母表示)；(2)若的最大值为，最小值为，求实数的值；(3)在满足(2)的条件下，若直线与椭圆交于两点(与椭圆的左右顶点不重合)，且以线段为直径的圆经过点，求证：直线必经过定点，并求出定点的坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题
7、满分8分 定义：符号表示实数中最大的一个数；表示中最小的一个数. 如，.设是一个给定的正整数()，数列共有项，记， ().由的取值情况，我们可以得出一些有趣的结论.比如，若，则.理由：，则.又，于是，有.试解答下列问题： (1)若数列的通项公式为，求数列的通项公式； (2)若数列满足，求通项公式； (3)试构造项数为的数列，满足，其中是等比数列，是公差不为零的等差数列，且数列是单调递减数列，并说明理由.(答案不唯一)黄浦区2021年高考模拟考数学试卷参考答案 2021.4说明： 1本解答仅列出试题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分2评阅试卷，应坚持每题评阅
8、到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分一、填空题.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12二、选择题13 14 15 16 三、解答题17（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 yxz解(1) 是长方体,棱， 平面，即三棱锥的高等于. . . (2)按如图所示建立空间直角坐标系，可得， , ，. ， 设平面的法向量 ， 则 即 取，得 故平面
9、的一个法向量为. 设直线和平面所成的角为 ，则. 所以直线和平面所成角的大小为 18（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解 (1)在中， 根据正弦定理：， 得 ( ) . (2) 由(1)知， 函数的最小正周期为. 由()，得 . 函数的递增区间是. 19 （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解 (1) 答案不唯一. 构造出一个函数； 说明是单调增函数； 函数的取值满足要求. 如，就是符合企业奖励的一个函数模型.理由：根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数；当时，当时，即奖金金额且不超过20万元.故该函数是符合企业
10、奖励要求的一个函数模型.(2) 当时，易知是增函数，且当时，当时，即满足奖金且不超过20万的要求； 故当时，符合企业奖励要求. 当时，函数是增函数，即对任意，且时，成立.故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数. 由，得；进一步可知，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求. 依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数， 于是，有，解得. 综上，所求实数的取值范围是. 20（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解 (1)根据题意,可知. 于是，. (2) 由(1)可知，. 在椭圆上，则. . 依据椭圆的性质，可知. 当且仅当时
11、， 当且仅当时，. 又 的最大值为，最小值为， 解得即为所求. 证明 (3)由(2)知，椭圆. 又， 联立方程组 得. 设是直线与椭圆的两个交点，于是，有 以线段为直径的圆经过点， ，即，进一步得 ()，化简得 . 解得.(经检验，都满足) 当时，直线过点不满足与椭圆的左右顶点不重合要求，故舍去. ，即. 直线必经过定点，且定点的坐标为. 21（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分解 (1)数列的通项公式为，考察指数函数的图像与性质，知数列是单调递减数列,即. ， . 为所求的通项公式 (2) 数列满足，依据题意，由，知；由，知；依此类推，有，即，于是，数列是单调递减数列. ， . ， 数列是首项，公差为的等差数列 (3) 构造数列：，数列：，设，则数列满足题设要求. 理由如下： 构造数列：，数列：， ， 易知，数列是等比数列，数列是等差数列. 由指数函数的性质，知 ，即数列是单调递减数列；由函数的性质，知数列是单调递减数列. ，即. 数列是单调递减数列. . ，即数列是单调递减数列. 数列是满足条件的数列.