1、 A组基础对点练1在ABC中，若，则B的值为()A30 B45C60 D90解析：由正弦定理知，sin Bcos B，B45.答案：B2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin Ab sin Bc sin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：根据正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0，故C是钝角，即ABC是钝角三角形答案：C3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，c2，cos A，则b()A BC2 D3解析：由余弦定理，得4b222b cos A5，整理得3b28b30，解得b3或b(舍去).答案：D
2、4(2021湖南长沙模拟)在ABC中，A，b2 sin C4sin B，则ABC的面积为()A1 B2C3 D4解析：因为b2sin C4sin B，所以b2c4b，即bc4，故SABCbc sin A2.答案：B5已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2Acos2A0，a7，c6，则b()A10 B9C8 D5解析：化简23cos2Acos2A0，得23cos2A2cos2A10，解得cosA.由余弦定理，知a2b2c22bc cos A，代入数据，解方程，得b5.答案：D6(2020广东广州调研)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，c4，cos
3、 B，则ABC的面积为()A3 BC9 D解析：由余弦定理b2c2a22ac cos B，得716a26a，解得a3，cos B，sin B，SABCcasin B43.答案：B7(2021河南三市联考)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，sin Asin B1，c2cos C，则ABC的周长为()A33 B2C32 D3解析：因为sin Asin B1，所以ba，由余弦定理得cos C，又c，所以a，b3，所以ABC的周长为32.答案：C8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos Ba cos Cc cos A，则B_解析：由正弦定理可得2sin B co
4、s Bsin A cos Csin C cos Asin (AC)sin B，所以cos B.又因为0B，所以B.答案：9(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析：由余弦定理得b2a2c22ac cos B.又b6，a2c，B，364c2c222c2，c2，a4，SABCac sin B426.答案：610设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b3，c1，A2B，则cos B的值为_解析：因为A2B，b3，c1，所以，可得a6cos B，由余弦定理可得a6，所以a2，所以cos B.答案：11(2020四川成都模
5、拟)已知三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin 2Acos 2A，且角A为锐角(1)求角A的大小；(2)若a5，b8，求c的值解析：(1)由题意，sin 2Acos 2A，即tan 2A.所以2A或2A.因为角A为锐角，所以A.(2)由(1)可知A，a5，b8，由余弦定理，2bc cos Ac2b2a2，可得c28c390，解得c43或43.B组素养提升练1已知锐角ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若B2A，则的取值范围是()A BC D解析：因为B2A，所以sin Bsin 2A2sin A cos A，由正弦定理得b2a cos A，所以，所以tan
6、A.因为ABC是锐角三角形，所以解得A，所以tan A1，所以tan A.即的取值范围是.答案：D2已知在ABC中，B2A，ACB的平分线CD把三角形分成面积比为43的两部分，则cos A_解析：在ADC中，由正弦定理得，同理，在BCD中，有，又sin ADCsin BDC，sin ACDsin BCD，所以有ACBC，由正弦定理得sin Bsin A，又B2A，所以sin B2sin A cos A，所以cos A.答案：3(2020福建泉州模拟)已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，ac sin A4sin C4c sin A.(1)求a的值；(2)圆O为ABC的外接圆(O在AB
7、C内部)，OBC的面积为，bc4，判断ABC的形状，并说明理由解析：(1)由正弦定理可知，sin A，sin C，则ac sin A4sin C4c sin Aa2c4c4ac.因为c0，所以a2c4c4aca244a(a2)20，可得a2.(2)设BC的中点为D，则ODBC，所以SOBCBCOD.又因为SOBC，BC2，所以OD，在RtBOD中，tan BOD.又0BOD180，所以BOD60，所以BOC2BOD120.因为O在ABC内部，所以ABOC60，由余弦定理得a2b2c22bc cos A.所以4b2c2bc(bc)23bc.又bc4，所以bc4，所以bc2，所以ABC为等边三角形
8、4(2021福建福州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(2bc)cos Aa cos C.(1)求角A的大小；(2)若a3，求ABC的周长的最大值解析：(1)由(2bc)cos Aa cos C及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin A cos C，所以2sin B cos Asin C cos Asin A cos C，所以2sin B cos Asin (CA)sin B.因为B(0，)，所以sin B0.因为A(0，)，cos A，所以A.(2)由(1)得A，由正弦定理得2，所以b2sin B，c2sin C，ABC的周长l32sin B2sin
9、 ，32sin B233sin B3cos B36sin ，因为B，所以当B时，ABC的周长取得最大值，最大值为9. A组基础对点练1已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：如图所示，由余弦定理可得AC210040021020cos 120700，AC10(km).答案：D2(2021江西临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，
10、C，b；测量a，b，C；测量A，B，a，则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A BC D解析：对于可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离答案：D3某船开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东60的方向航行15 km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A5 km B10 kmC5 km D5 km解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即这时船与灯塔的距离是5 km.答案：C4(20
11、21宁夏银川一中模拟)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A50 m B50 mC25 m D m解析：由正弦定理得，AB50，故A，B两点间的距离为50 m.答案：A5某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60，小高层底部的俯角为45，那么这栋小高层的高度为()A20m B20(1)mC10()m D20()m解析：如图所示，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线由题意知AB20 m，DAE45，CAE60，故DE20 m
12、，CE20 m，所以CD20(1)m.答案：B6(2020广西五校联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里解析：画出示意图如图所示，易知，在ABC中，AB20海里，CAB30，ABC4065105，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里).答案：A7台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米
13、处，B城市处于危险区内的持续时间为()A0.5小时 B1小时C1.5小时 D2小时解析：根据题意画出相应的图形，如图所示BEBF30 km，ABD为等腰直角三角形且AB40 km，由勾股定理得ADBD20 km，由BDAD，可得EDDF，在RtBED中，由勾股定理得ED10 km，所以EF2ED20 km，因此B城市处于危险区内的时间为20201(小时).答案：B8如图所示，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析：设航速为v
14、 n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理，得，所以v32.答案：329(2021江西九江模拟)如图所示，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcos BDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去).在BCD中，由正弦定理得，所以BCsin 308.答案：810.(2020河北衡水模拟)如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成
15、15角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为_解析：在ACM中，MCA601545，AMC18060120，由正弦定理得，即，解得AC600.在RtACD中，因为tan DAC，所以DCAC tan DAC600600(m).答案：600 m11(2020四川成都诊断)如图所示，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sin BCE的值；(2)求CD的长解析：(1)在BEC中，由正弦定理，知，因为B，BE1，CE，所以sin BCE.(2)因为CEDB，所以DEAB
16、CE，所以cos DEA.因为A，所以AED为直角三角形又AE5，所以ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcos CED7282249，所以CD7.12已知海岛B在海岛A北偏东45方向上，A，B相距10海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线AB向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15方向以4海里/小时的速度移动(1)问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离解析：(1)如图，设经过x小时，物体甲在物体乙的正东方向，则甲与A的距离为102x，乙与A的距离为4x，AD(102x)，cos 15cos (45
17、30)，x5(2)，经过5(2)小时，物体甲在物体乙的正东方向(2)设经过x小时，甲、乙两物体的距离为d海里由余弦定理得cos 60，d228x280x100，0x5.函数y28x280x100的图象的对称轴x(0，5，当x时，d最小，dmin海里B组素养提升练1数书九章中对已知三角形三边长求三角形的面积的方法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即S .现有周长为2的ABC满足sin Asin B
18、sin C(1)(1)，试用以上给出的公式求得ABC的面积为()A BC D解析：因为sin Asin Bsin C(1)(1)，所以由正弦定理得abc(1)(1).又abc2，所以a1，b，c1，则ac211，c2a2b2651，故S .答案：A2(2020陕西西安模拟)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处经测量，AB1 040 m，BC500 m，则sin BAC等于_解析：依题意，设
19、乙的速度为x m/s，则甲的速度为x m/s，因为AB1 040，BC500，所以，解得AC1 260，在ABC中，由余弦定理可知cos BAC，所以sin BAC.答案：3如图所示，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tan PBA.解析：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30，故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin ，所以tan ，即tan PBA.4如图所示，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角解析：(1)分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)Ssin2(1cos 2)sin 2cos 2sin ，因为，所以2，sin .当时，Smax(m2).