1、1.3 三角函数的诱导公式(二)必备知识自主学习 (3)应用:实现正弦函数与余弦函数的转化;化简;求值;证明三角恒 等式.【思考】(1)角 -与角 的终边有什么样的位置关系?提示:如图,角 -与角 的终边关于y=x对称.22(2)点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是什么?提示:点P1(a,b)关于y=x对称的对称点坐标是P2(b,a).(3)如何由公式四及公式五推导公式六?提示:sin()sin()sin()cos222 ，cos()cos()cos()sin.222 【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)sin(+)=-cos .()(2)在ABC中,()(3)si
2、n =cos .()2ABCsincos.22 k()22.已知tan =3,则sin 的值为()【解析】选B.已知tan =3,则sin ()cos()22 3333A.B.C.D.101055222sin costan33()cos()sin cos.22sincos1tan9 110 3.(教材二次开发:习题改编)已知sin 40=a,则cos 130等于_.【解析】cos 130=cos(90+40)=-sin 40=-a.答案:-a 关键能力合作学习 类型一 利用诱导公式求值(逻辑推理、数学运算)【典例】已知cos 0,求cos 的值.【思路导引】结合已知及同角平方关系可求sin ,
3、然后利用诱导公式及 同角平方关系可求.1()632，2 4()sin()33 ()6 【解题策略】解决化简求值问题的策略(1)首先要仔细观察条件式与所求式之间的关系,发现它们的互补、互余关系.(2)可以将已知式进行变形,向所求式转化,或将所求式进行变形,向已知式转化.提醒:常见的互余关系有:-与 +,+与 -等;常见的互补关系 有:+与 -,+与 -等.3644323434【跟踪训练】1.已知sin 31=m,则sin 239tan 149的值是()A.m B.C.-m D.-【解析】选A.sin 239tan 149=sin(180+59)tan(180-31)=-sin 59(-tan 3
4、1)=-sin(90-31)(-tan 31)=-cos 31(-tan 31)=sin 31=m.21m21m2.已知cos(+)=-,为第一象限角,则cos 的值为_.【解析】因为cos(+)=-cos=-,所以cos=,又为第一象限角,则cos =-sin=答案:12()21212()221cos2131().22 323.已知sin ,则cos 的值为_.【解析】答案:1()32()61cos()cos()sin().6233212类型二 利用诱导公式化简、证明(逻辑推理)角度1 利用诱导公式化简 【典例】已知f =化简f .【思路导引】先利用诱导公式化简每一个因式,再运算.3cos(
5、)cos(2)sin()22.3sin()sin()2 ()()角度2 利用诱导公式证明恒等式 【典例】求证:=-tan .【思路导引】利用诱导公式直接对等式左边进行化简,从而推得等式右边.tan(2)sin(2)cos(6)33sin()cos()22【解题策略】对于恒等式的证明,应遵循化繁为简的原则,从左边推导右边或从右边推导左边,也可以左右归一,变更论证的方法.常用定义法、弦化切、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法等,要熟练掌握基本公式,善于从中选择巧妙简洁的方法.【题组训练】1.已知角 终边经过点(3,-4),则 =()A.B.-C.D.-【解析】选C.由三角函数的定义可得tan=
6、-,因此,3sin()cos()25sin()cos()22 43433434433sin()cos()(cos)cos132.5cossintan4sin()cos()22 （）（）2.已知 为第二象限角,化简 =_.【解析】答案:-1 212sin(5)cos()33sin()1 sin()22 222212sin(5)cos()sincos2sin cos33cos1 cossin()1 sin()22 sincos1.cossin 3.化简或求值:(1)(2)6sin(-90)+3sin0-8sin270+12cos180.【解析】(1)原式=-sin+sin=0.(2)原式=6 +3
7、0-8 +12 =-6+8-12=-10.sin()cos()sin()cos()222cos()sin()；cossinsin(sin)cossin(1)(1)(1)类型三 诱导公式的综合应用(数学运算)【典例】已知 (1)化简f().(2)若f()=2,求sin2-3sin cos 的值.【思路导引】(1)利用诱导公式即可化简.(2)利用同角三角函数的基本关系化简并将数据代入即可.233sin()cos()tan()22f().cos()sin()2 【解题策略】诱导公式综合应用要“三看”一看角:化大为小;看角与角间的联系,可通过相加、相减分析两角的关系.二看函数名称:一般是弦切互化.三看
8、式子结构:通过分析式子,选择合适的方法,如分式可对分子分母同乘一个式子变形.【跟踪训练】已知f()=(1)化简f().(2)若角A是ABC的内角,且f(A)=,求tan A-sin A的值.sin()cos()sin()2.cos()sin()351.若 是三角形内角,且sin ,则角 等于()【解析】选D.因为sin 所以cos=-.因为0,所以=.课堂检测素养达标()sin26 52A.B.C.D.6363()sin26，12232.已知tan =2,则 等于()【解析】选B.sin()cos()2sin()sin()2 2A.2 B.2 C.0 D.3sin()cos()coscos22
9、22.cossin1tan12sin()sin()2 3.(教材二次开发:例题改编)化简 得_.【解析】答案:3cos()sin()22cos()sin2 3cos()sin()sin coscos122.sin sinsintancos()sin2 1tan4.若cos +sin(+)=-m,则cos +2sin(6-)的值为_.【解析】由题意知,sin+sin=m,所以sin=.所以cos +2sin(6-)=-sin-2sin=-3sin =-.答案:-()2 3()2 m23()2 3m23m25.化简 【解析】7sin(2)cos()cos()cos()22.5cos()sin(3)sin()sin()2 7sin(2)cos()cos()cos()sin(cos)sin(sin)22tan.5cos sin(sin)coscos()sin(3)sin()sin()2