1、第六节二项分布、正态分布及其应用1条件概率(1)定义：设A，B为两个事件，且P(A)0，称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率(2)性质：条件概率具有一般概率的性质，即0P(B|A)1；如果B，C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A).2相互独立事件(1)定义：设A，B是两个事件，若P(AB)P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立3独立重复试验概率公式在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i1，2，n)表示第i次试验的结果，则P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)
2、P(A3)P(An)4二项分布的定义(1)在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率，E(X)np，D(X)np(1p).(2)二项分布XB(n，p)的均值与方差：E(X)np；D(X)np(1p).(3)正态分布XN(，2)：E(X)，D(X)2.5正态曲线的定义函数，(x)e，x(，)，其中实数和(0)为参数，称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线6正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aXb)，
3、(x)dx，则称随机变量X服从正态分布，记作N(，2).7正态曲线的特点(1)曲线位于x轴的上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x对称；(3)曲线在x处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；(6)当一定时，曲线的形状由确定越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散83原则(1)P(X)0.682_6(2)P(2X2)0.954_4(3)P(3X3)0.997_4正态曲线如图所示：P(x)P(x).P(xa)P(x2a).1(基本方法：独立重复试验)甲、乙两人进行围棋比赛，
4、比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜出三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以31的比分获胜的概率为()A BC D答案：A2(基本应用：条件概率)天气预报播报，在国庆假期期间甲地降雨的概率是0.3，乙地降雨的概率是0.4，两地同时降雨的概率为0.2.则在乙地降雨的前提下，甲地降雨的概率为()A0.12 B0.2C0.5 D答案：C3(基本能力：正态分布)若xN(5，1)，则P(5x6)_答案：0.341 34(基本方法：条件概率)一批产品只分为一等品和二等品，其中二等品的概率为0.02，从中随机抽取2件，第一件为二等品，第二件为一等品的概率为_答案：0.019 65(基本能力：正态
5、分布的特点)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110，102).已知P(100X110)0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有_人答案：8题型一条件概率 1(2021安徽安庆模拟)甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目，每人限报其中一项，记事件A为“4名同学所报项目各不相同”，事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则P(A|B)()A BC D解析：由已知有P(B)，P(AB)，所以P(A|B).答案：C2一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知
6、第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为()A BC D解析：记“第i(i1，2)支晶体管是好的”为事件Ai(其中i1，2)，依题意知，要求的概率为P(A2|A1).由P(A1)，P(A1A2)，所以P(A2|A1).答案：C3在100件产品中有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_解析：法一(应用条件概率公式求解)：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则所求的概率为P(B|A)，因为P(AB)，P(A)，所以P(B|A).法二(缩小样本空间求解)：第一次取到不合格品后，也就是在
7、第二次取之前，还有99件产品，其中有4件不合格品，因此第二次取到不合格品的概率为.答案：方法总结 求条件概率的方法方法解决公式法直接利用条件概率的计算公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)计算利用公式法求解条件概率的关键是分清条件概率中的各个事件，区分B|A与AB基本事件法借助古典概型(或几何概型)概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A).基本事件法求解条件概率的关键在于准确确定基本事件空间 题型二相互独立事件同时发生的概率典例剖析典例某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E
8、运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路统计表明：汽车走公路堵车的概率为，不堵车的概率为；走公路堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路，第三辆汽车丙由于其他原因走公路运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响(1)求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；(2)求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率解析：记“汽车甲走公路堵车”为事件A，“汽车乙走公路堵车”为事件B，“汽车丙走公路堵车”为事件C.(1)甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率为P1P(A )P(B).(2)甲、乙、丙三辆汽车中至少有两辆堵车的概率为P2P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC).方法总结1利用相互独立事件求
9、复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和(2)将彼此互斥事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件(3)代入概率的积公式求解2运用对立事件可把问题简化(1)A，B中至少有一个发生的事件为AB；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为 ；(4)A，B恰有一个发生的事件为(A )( B)；(5)A，B至多一个发生的事件为(A )( B)( ).对点训练某人同时抛一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为3的倍数”为事件B，则事件A，B至多有一件发生的概率为()A BC D解析：由
10、古典概型的概率公式得P(A)，P(B)，事件A，B至多有一件发生包含：两件都不发生；A发生，B不发生；B发生，A不发生故所求概率PP( )P(A)P(B).答案：D题型三独立重复试验与二项分布 典例剖析典例某学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛，已经该竞赛中有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，小王同学从中任取3道题解答(1)求小王同学至少取到2道乙类题的概率；(2)如果小王同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立，已知小王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类题，用X表示小王同学答对题的个数，求随机变量X的分布列和数学期望解析：(1)设“小王同学至少取
11、到2道乙类题”为事件A，小王同学取到2道乙类题共有CC种取法；小王同学取到3道乙类题共有C种取法，所以P(A).(2)法一：X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)C；P(X1)CC；P(X2)CC；P(X3)C.其分布列为X0123P所以E(X)0123.法二：设小王同学答对甲类题的个数为m，答对乙类题的个数为n.则由题意可得mB，nB.显然小王同学答对题的个数Xmn，故E(X)E(m)E(n)21.方法总结求解独立重复试验或二项分布问题，主要是用公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，其步骤为：(1)判断：即判断离散型随机变量X服从二项分布B(n，p)：在一次试验中某事件
12、A发生的概率是一个常数p；n次试验是在完全相同的条件下进行的重复试验，且每次试验的结果是相互独立的；在实际应用中，往往出现“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验(2)套公式P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)，表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率(3)列分布列：以表格的形式列出分布列(4)计算期望与方差：可直接用公式E(X)np，D(X)np(1p).对点训练 (2020江苏西亭中学模拟)某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位).(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准
13、确，且其中第3次预报准确的概率解析：令X表示5次预报中预报准确的次数，则XB，故其分布列为P(Xk)C(k0，1，2，3，4，5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X2)C100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X2)1P(X0)P(X1)1CC10.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C0.02.题型四正态分布 典例剖析类型 1求正态分布的概率 例1设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)
14、P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析：由正态分布密度曲线的性质可知，XN(1，)，YN(2，)的密度曲线分别关于直线x1，x2对称，因此结合题中所给图象可得，12，所以P(Y2)P(Y1)，故选项A错误又XN(1，)的密度曲线较YN(2，)的密度曲线“瘦高”，所以1P(X1)，选项B错误对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，P(Xt)P(Yt).答案：D类型 2求正态分布的频数例2(2020山东烟台模拟)2019年2月13日烟台市全民阅读促进条例全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，
15、随机调查了200名学生每周阅读时间x(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2(同一组的数据用该组区间中点值代表).(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x服从正态分布N(，2)，其中近似为样本平均数，2近似为样本方差s2.一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若XN(，2)，令Y，则YN(0，1)，且P(Xa)P.利用直方图得到的正态分布，求P(X10)；从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P(Z2)(结果精确到0.000 1)以及Z的均值参考数据
16、：，0.773 4190.007 6.若YN(0，1)，则P(Y0.75)0.773 4.解析：(1)60.0370.180.290.35100.19110.09120.049，s2(69)20.03(79)20.1(89)20.2(99)20.35(109)20.19(119)20.09(129)20.041.78.(2)由题意知9，21.78，XN(9，1.78).，P(X10)PP(Y0.75)0.773 4.由知P(X10)1P(X10)0.226 6，可得ZB(20，0.226 6)，P(Z2)1P(Z0)P(Z1)10.773 420C0.226 60.773 4191(0.773
17、 4200.226 6)0.007 60.959 7.Z的均值E(Z)200.226 64.532.方法总结解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x；(2)标准差；(3)分布区间利用对称性可求指定范围内的概率值；由，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化 为3特殊区间，从而求出所求概率注意只有在标准正态分布下对称轴才为x0.题组突破1(2021吉林长春模拟)已知随机变量服从正态分布N(1，2)，若P(2)0.15，则P(01)()A0.85 B0.70C0.35 D0.15解析：P(01)P(12)0.5P(2)0.35.答案：C2.(2021河北唐山五校联考)某篮球队在某赛季已结束的8场
18、比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如图所示(1)根据这8场比赛，估计甲每场比赛中得分的均值和标准差；(2)假设甲在每场比赛的得分服从正态分布N(，2)，且各场比赛间相互没有影响，依此估计甲在82场比赛中得分在26分以上的平均场数(结果保留整数).参考数据：5.66，5.68，5.70.正态总体N(，2)在区间(2，2内取值的概率约为0.954 5.解析：(1)由题图可得(78101517192123)15，2(8)2(7)2(5)2022242628232.25，所以5.68.所以估计甲每场比赛中得分的均值为15，标准差为5.68.(2)设甲每场比赛中的得分为随机变量X，由(1)得甲在每场比赛中得分在26分以上的概率P(X26)1P(2p1.