1、第二节二项式定理1二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)，其中右端为(ab)n的二项展开式2二项展开式的通项公式第k1项为：Tk1Cankbk3二项式系数(1)定义：二项式系数为：C(k0，1，2，n)(2)二项式系数的性质：性质性质描述对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即CC增减性二项式系数C当k(nN*)时，是递增的当k(nN*)时，是递减的最大值当n为偶数时，中间的一项取得最大值当n为奇数时，中间的两项和取得最大值各二项式系数和CCCC2n1.一对易混概念二项展开式中第r1项：(1)二项式系数是C，而不是C.(2)项的系数是该项的数字因数2两个常用
2、公式(1)CCCC2n.(2)CCCCCC2n1.(展开式的奇数项、偶数项的二项式系数相等)3三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数和等于n.1(基本方法：展开式的常数项)二项式的展开式中，常数项的值是()A240 B60C192 D180答案：A2(基础知识：展开式各项的系数)(x1)10的展开式中第6项的系数是()AC BCCC DC答案：D3(基本方法：展开式的系数)若(x1)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a2a4的值为()A9 B8C7 D6答案：B4(基本能力：展开式系数和)二项式(
3、2a33b2)10的展开式中各项系数的和为_答案：15(基本应用：组合数的性质)CCC_.答案：210题型一多项展开式的特定项 典例剖析类型 1二项展开式问题例1(1)(2021湖南岳阳模拟)在(nN*)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则展开式中常数项是()A180 B120C90 D45解析：在(nN*)的展开式中，若二项式系数最大的项仅是第六项，则n10，则的展开式的通项为Tr1C2rx5，令50，得r2，可得展开式中常数项为C22180.答案：A(2)的展开式中的有理项共有_项解析：的展开式的通项为Tr1C()8rCx(r0，1，2，8)，为使Tr1为有理项，r必须是4的倍数
4、，所以r0，4，8，故共有3个有理项，分别是T1Cx4x4，T5Cxx，T9Cx2.答案：3类型 2两个多项式积的展开式问题例2(1)(1x)6的展开式中x2的系数为()A15 B20C30 D35解析：因为(1x)6的通项为Cxk，所以(1x)6的展开式中含x2的项为1Cx2和Cx4.因为CC2C230，所以(1x)6的展开式中x2的系数为30.答案：C(2)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3C2 D1解析：(1x)5中含x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1.答案：D类型 3三项展开式问题例3(1)(x2xy)5的展开
5、式中，x5y2的系数为()A10 B20C30 D60解析：法一：利用二项展开式的通项公式求解(x2xy)5(x2x)y5，含y2的项为T3C(x2x)3y2.其中(x2x)3中含x5的项为Cx4xCx5，所以x5y2的系数为CC30.法二：利用排列组合知识求解(x2xy)5为5个x2xy之积，其中有两个因式取y，剩余的三个因式中两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC30.答案：C(2)(2020安徽合肥检测)展开式中的常数项为()A1 B11C19 D51解析：，展开式的通项为Tk1C，当k5时，常数项为C1，当k3时，常数项为CC20，当k1时，常数项为CC30.综上所述，常
6、数项为1203011.答案：B方法总结1求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可2对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3对于三项式问题，一般先变形化为二项式再解决题组突破1(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为()A3 B2C1 D4解析：(x1)4的通项为Tk1Cx4k(1)k，(x2x1)(x1)4的展开式中，x3的系数为C(1)3C(1)2C(1)2.答案：B2(2021安徽合肥模
7、拟)若的展开式的常数项是60，则a的值为()A4 B4C2 D2解析：的展开式的通项为Tr1C(ax)6r(1)ra6rCx6r，令6r0，解得r4，常数项为(1)4a64C15a260，a2.答案：D题型二二项展开式的各项系数和问题典例剖析类型 1二项式系数和例1(2021山西八校联考)已知(1x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()A29 B210C211 D212解析：由题意知CC，由组合数性质得n10，则奇数项的二项式系数和为2n129.答案：A类型 2各项系数和例2(1)若的展开式中含x的项为第6项，设(13x)na0a1xa2x2anxn，则a1
8、a2an的值为_解析：二项式的展开式的第6项是T51C(1)5x2n15，令2n151，得n8.在二项式(13x)8的展开式中，令x0，得a01；令x1，得a0a1a8(2)8256，所以a1a2a8255.答案：255(2)(2020陕西黄陵中学模拟)若(x1)5a5(x1)5a4(x1)4a3(x1)3a2(x1)2a1(x1)a0，则a1a2a3a4a5_解析：令x1可得a032.令x0可得a0a1a2a3a4a51，所以a1a2a3a4a51a013231.答案：31方法总结1求形如(axby)n的展开式中各项的系数和(a，b为常数，x，y为变量)，其方法是让所有的变量都为1，即x1，
9、y1的运算结果(ab)n，称为赋值法赋值时，要注意，根据展开式的形式，来确定所赋的值2一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n展开式中的各项的系数的和为g(1)，(abx)n展开式中的奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n展开式中的偶数项的系数和为g(1)g(1).题组突破1(2021湖南湘潭模拟)若(1x)(12x)8a0a1xa9x9，xR，则a12a222a929的值为()A29 B291C39 D391解析：(1x)(12x)8a0a1xa2x2a9x9，令x0，得a01；令x2，得a0a12a222a92939，a12a
10、222a929391.答案：D2若二项式的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为()A1 B1C27 D27解析：依题意得2n8，解得n3.取x1得，该二项展开式每一项的系数之和为(12)31.答案：A题型三二项式系数或项的系数的最值问题典例剖析典例(1)已知二项式(a0)的展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大，展开式中x2项的系数为84，则a的值为()A1BC2 D解析：由展开式的第五、六项的二项式系数相等且最大可知n9，则展开式的通项公式为Tr1C(a)9rCa9rxxCa9rx(r0，1，2，3，9)，令2，则r3，所以Ca93Ca684，解得a1.因为a0，所以a
11、1.答案：A(2)(2021河北石家庄模拟)在(12x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项为_解析：由二项式系数的性质知，2n1128，解得n8，(12x)8的展开式共有9项，中间项，即第5项的二项式系数最大，T41C14(2x)41 120x4.答案：1 120x4方法总结1形如(axb)n，(ax3bxc)m(a，b，cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常采用赋值法，只需令x1即可2当n为偶数时，展开式中第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为或对点训练二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大
12、，则展开式中x的指数为整数的项的个数为()A3 B5 C6D7解析：根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n20，的展开式的通项为Tk1C(x)20k()20kCx20，要使x的指数是整数，需k是3的倍数，k0，3，6，9，12，15，18，x的指数是整数的项共有7项答案：D1(2018高考全国卷)的展开式中x4的系数为()A10B20 C40D80解析：的展开式的通项公式为Tr1C(x2)5rC2rx103r，令103r4，得r2.故展开式中x4的系数为C2240.答案：C2(2019高考全国卷)(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为()A12 B16 C20 D24解析：法一
13、：(12x2)(1x)4的展开式中x3的系数为1C2C12.法二：(12x2)(1x)4(12x2)(14x6x24x3x4)，x3的系数为142412.答案：A3(2020高考全国卷)(xy)5的展开式中x3y3的系数为()A5 B10 C15 D20解析：法一：(xy)5(x55x4y10x3y210x2y35xy4y5)，x3y3的系数为10515.法二：当x中取x时，x3y3的系数为C，当x中取时，x3y3的系数为C，x3y3的系数为CC10515.答案：C4(2020高考全国卷)的展开式中常数项是_(用数字作答).解析：的展开式的通项为Tr1C(x2)6rC2rx123r，令123r0，解得r4，得常数项为C24240.答案：240求1.025的近似值(精确到两位小数)解析：1.025(10.02)51C0.02C0.022C0.025150.021.10.