1、 高 三 数 学（第9周）主讲教师：刘海滨主审教师：陈云楼【教学内容】不等式的性质、不等式证明的几种常见方法 比较法、综合法、分析法、换元法和放缩法等。【教学目标】不等式的性质是不等式证明和求解不等式的理论基础和前提条件。比较法是证明不等式的最基本的方法，它思维清晰，可操作性强，适用范围广泛，在不等式证明中常常采用。比较法通常分两类：第一、作差与零比较，作差后常需要把多项式因式分解，再由各因式的符号来确定差与零的大小；第二、作商与1比较，但要注意除式的符号，作商后常需把分子分母因式分解后约分再与1进行大小比较。综合法常常用到如下公式：（1）2ab(a,bR) (2) (3)2(a.b0)(4)
2、 (5)利用综合法证明不等式时常需要进行灵活的恒等变形,创造条件去运用公式。对于不能直接分析出如何用综合法来证明的不等式，我们可以采用分析法，执果索因，从要证明的结论出发，去追逆它要成立的条件，得到要证明的结论就是已知条件或已有的公式，从而说明所证不等式成立。另外，换元法、放缩法等对较复杂的不等式的证明也很有帮助。【知识讲解】例1、 设12a0,试比较A=1+a2与B=的大小。解：A-B= = 恒成立.由条件知0,a-10,A-B0 即Ab时,a-b0且a1,mn0,求证:. 分析：这类不等式显然不解直接用综合法来证明，因此仍考虑用比较法，而所证不等式左、右均为几个因式的代数和的形式，因此常采
3、用作差与0比较的方法。证明： =10当0an0,am020当a1时, mn0,aman , (*)式0当a0且 a1时.(*)式恒正,即.例4、设a.b.cR+,求证: 分析：初看上去似乎与基本不等式有关，但若直接运用基本不等式，仅能得到所证不等式两端均非负，仍然不能证到原不等式成立。若注意到把两端括号去掉，则出现了相同项a+b，因此可以考虑用比较法来证明。证明一、 = a.b.cR+, 0,即所证不等式成立.证明二、 =令 a.b.c R+， x,yR+ =(y2+xy+x2)(y-x)+3x2(x-y)=(y-x)(x2+xy-2x2) =(y-x)(y-x)(y+2x)=(y-x)2(y
4、+2x)0 并且仅当x=y即 c2=ab时“=”成立。 .说明:证法一运用了基本不等式,关键是对进行恒等变形,创造条件运用基本不等式;证法二采用了换元法,关键是如何假设变量才解使差式化简。 例5、当n2时，求证：logn(n-1).logn(n+1)2. logn(n-1)0.logn(n+1)0 logn(n-1).log(n+1)2时,logn-1nlogn(n+1),此结论应记住,它对我们今后的学习也是很有帮助的,由它可以得到一连串不等式:log2324log2425log2526lup2627。 例6、设a.b.cR+,求证:.分析:如果把因式a+b+c乘到括号内,则所证不等式左边较复
5、杂,很难看出用什么方法去证明,若我们注意分析该不等式左边的特征,它与三个变元的均值不等式的左边很类似,再联想到结论:当x.y.zR+时, 9就不难得到证明了.证明:a.b.cR+ 而2(a+b+c)=( a+b)+(b+c)+(c+a)9即.说明:掌握了此类不等式的证明方法后,与此类似的不等式,如10若a.b.cR+ 且a+b+c=1求证: 20若a.b.cR+,则等等就不难证明了. 例7、已知：a12+a22+an2=1,x12+x22+xn2=1,nN求证:a1x1+a2x2+anxn1 证明:a12+x122a1x1 , a22+x222a2x2an2+xn22anxn,相加得, (a1
6、2+a22+an2)+(x12+x22+xn2) 2(a1x1+anxn) 即a1x1+a2x2+anxn1. 例8、若a3,求证： 证法一：若证原不等式成立，只要证成立，要证此不等式成立，只要证a2-3aa2-3a+2,即证0b0,求证：证明：若证原不等式成立，只要证：，只要证明 ，只要证，只要证 ，只要证只要证即证即证成立，ab0的此式显然成立,又以上各步均可逆,原不等式成立. 例10、若，则。证法一、要证只要证，只要证即证： , (*)式成立,原不等式成立证法二、如图，设A（1,a）,B(1,b),则，由于三角形两边之差的绝对值小于第三边， Y A(1,a) O 1 X B(1,b)即，
7、 说明:证法一是运用分析法证明的,在对变形时采用了分子有理化的手段,这种变形方法有着较广泛的运用,证法二是构造了一个三角形,其三边恰好分别是、，然后借助于三角形本身的关系来证明，这种通过构造图形的方法，往往可以化难为易，化繁为简，体现了数学中的数形结合的思想，要引起我们高三复习时注意。【每周一练】（一） 选择题： 1、如果0a1 B、（1-a）nf(1-a)D、cos(1+a)-1bc,则下列不等式成立的是（ ）A、abac B、 C、 D、a-bcb(1-c) 3、已知x,a,bR,则下列不等式: x2+32x, a5+b5a3b2+a2b3, a2+b22(a-b-1), 2中恒成立的是
8、( )A、 仅和 B、仅和 C、仅和 D、全部 4、若0a1,0b1,则a+b,2,a2+b2，2ab中最大的是（ ）A、a2+b2 B、a+b C、 D、2ab 5、设x,x+2,x+4是一个钝角三角形的三条边，则x的取值范围是（ ）A、3x6 B、2x2 D、0x6 6、xR，则的（ ）A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 7、设0 2a1,M=1-a2,N=1+a2,P=那么（ ）A、QPMN B、MNQP C、QMNP D、 MQP1,那么m与n的关系是 10、ab的充要条件是 11、用不等号把连接起来为 12、设与2的大小关系是 13、的 条件。 14、
9、当0x的取值范围是 15、若p,qR+且a=p3+q3,b=p2q+pq2则a,b的大小关系是三、证明题 16、求证：3(a2+b2+c2)(a+b+c)2. 17、设a0且a1,t0,试比较的大小，并证明你的结论。 18、若a1,b1求证：a2+b2ab+a+b-1 19、已知x,y,zR求证:x2y2+y2z2+z2x22cyz(x+y+z) 20、设ab0,求证：3. 21、若a+b=1,求证：2 22、a,b,cR求证： 23、已知a,b,c为不相等的正数，且abc=1求证： 24、若a+b+c=1，且a,b,c均为非负实数，求证： 25、设求证：【每周一练答案】（一） 选择题： 1、C 2、D 3、C 4、B 5、B 6、A 7、C 8、D（二） 填空题： 9、mn 10、a.b0 11、 12、 13、必要不充分条件 14、 15、ab （三） 证明题 16、比较法（略） 17、, 18、略 19、略 20、略 21、 22、略。 23、 24、分析法 25、 =