1、微专题75 几何问题的转换一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系2、常见几何问题的转化：（1）角度问题： 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定（2）点与圆
2、的位置关系 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，为钝角（再转为向量：；若点在圆上，则为直角（）；若点在圆外，则为锐角（）（3）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算：，则共线；（5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系（6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意
3、向量的方向是同向还是反向）3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心 （2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系，即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零（3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知（如图）： 在的角平分线上 （4）是以为邻边的平行四边形的顶点 （5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上（6）共线线段长度的乘积：若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算，(要注意向量的夹角）例如：，二、典型例题：例1：如图：分别是椭圆的左右顶点，为其右焦点，是的等差中项，是的等比中项（1）求椭圆的方程（2）已知是椭圆上异于
4、的动点，直线过点且垂直于轴，若过作直线，并交直线于点。证明：三点共线解：（1）依题意可得： 是的等差中项 是的等比中项 椭圆方程为： （2）由（1）可得：设，设 ，联立直线与椭圆方程可得： 另一方面，因为 ，联立方程： 三点共线例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点，若的面积为，且椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点， 且使点为的垂心？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解：（1） 椭圆方程为： （2）设，由（1）可得： 为的垂心 设 由为的垂心可得： 因为在直线上，代入可得：即 考虑联立方程： 得 ,代入可得： 解得：或 当时，不存在，故舍去当时
5、，所求直线存在，直线的方程为小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算（或是斜率关系）例3：如图，椭圆的一个焦点是 ，为坐标原点.（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点，若直线绕点任意转动，恒有, 求的取值范围.解：（1）由图可得： 由正三角形性质可得： 椭圆方程为： （2）设， 为钝角 联立直线与椭圆方程：，整理可得： 恒成立即恒成立 解得： 的取值范围是 例4：设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且
6、椭圆上的点到右焦点距离的最小值为 （1）求椭圆的方程；（2）设为直线上不同于点的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 解：（1）依题意可得，且到 右焦点距离的最小值为 可解得： 椭圆方程为 （2）思路：若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明，因为坐标可求，所以只要设出直线（斜率为） ，联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号，进而完成证明解：由（1）可得，设直线的斜率分别为， ，则 联立与椭圆方程可得：，消去可得： ，即 设，因为在直线上，所以，即 为锐角， 为钝角 在以为直径的圆内例5：如图所示，已知过抛物线
7、的焦点的直线与抛物线相交于两点，与椭圆的交点为，是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由解：依题意可知抛物线焦点，设 ，不妨设则 设 考虑联立直线与抛物线方程： ，消去可得： 联立直线与椭圆方程：，整理可得： 由可得：，解得： 所以存在满足条件的直线，其方程为： 例6：在平面直角坐标系中，已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线，切点为（异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点 （1）求抛物线的方程（2）试问的值是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由解：（1）由准线方程可得： 抛物线方程： （2）设切点，抛物线为 切线斜率为 切线方程为：，代入及可得：，
8、解得：（舍）或 设 共线且在轴上 联立和抛物线方程：，整理可得： 再联立直线方程： 例7：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且 （1）求的顶点的轨迹的方程（2）直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围解：（1）设 由是的重心可得： 由轴上一点满足平行关系，可得 由可得： 化简可得： 的轨迹的方程为：（2） 四边形为平行四边形设 在椭圆上 因为在椭圆上，所以，代入可得： 联立方程可得： 代入可得： 有两不等实根可得：，即，代入 另一方面： 或 例8：已知椭圆的离心率为，直线过点，且与椭圆相切于点（1）求椭圆的方程（2）是否存在过点
9、的直线与椭圆交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由解（1） 椭圆方程化为：过设直线联立直线与椭圆方程：消去可得：整理可得：与椭圆相切于椭圆方程为：，且可解得（2）思路：设直线为，由（1）可得：，再由可知，若要求得（或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向，所以。写出的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程，求解即可解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线由（1）可得：共线且同向 联立直线与
10、椭圆方程：消去并整理可得：，代入，可得：可解得：，另一方面，若方程有两不等实根则解得: 符合题意直线的方程为：，即：或例9：设椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴与点 ，且 （1）求椭圆的离心率（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意设 由可得： （2）由（1）可得： 的外接圆的直径为，半径设为 ，圆心 由圆与直线相切可得： 解得： 椭圆方程为（3）由（2）得：设直线 设，若为邻边的平行四边形是菱形则为垂直平分线上的点 设中点 的中垂线方程为：，即 代入可得：联立方程： 所以存在满足题意的，且的取值范围是例10：已知抛物线：的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且（1）求抛物线的方程（2）过的直线与抛物线相交于两点，若垂直平分线与相交于两点，且四点在同一个圆上，求的方程解：（1）设，可的 且解得抛物线（2）由（1）可得 可设直线联立方程设，则有的中点且由直线可得的斜率为设 整理可得：与联立消去可得：设的中点，因为共圆，所以整理后可得：的方程为：或