1、2012届高考数学一轮精品1.3 命题及其关系（考点疏理+典型例题+练习题和解析） 1.3 命题及其关系 【知识网络】1.四种命题及其相互关系2.充分条件和必要条件【典型例题】例1.（1）下面有四个命题：集合中最小的数是；若不属于，则属于；若则的最小值为；的解可表示为.其中真命题的个数为（A）A个 B个 C个 D个提示：假命题，集合中最小的数是；假命题，如；假命题，如；假命题，与集合元素的互异性矛盾.（2）命题：“若，则”的逆否命题是 （D）A.若，则 B.若，则C. 若，则 D.若，则提示：的否定为至少有一个不为.（3）若, 的二次方程的一个根大于零,另一根小于零,则是的 （A）A充分不必要
2、条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件提示：，可知方程的两根异号，条件充分；条件不必要，如时，方程一个根大于零,另一根小于零.（4）给出以下四个条件：；或；且.其中可以作为“若，则”的一个充分而不必要条件的是 .提示：不充分，如；既不充分，如；、充分而不必要，但反之不成立，但反之不成立.（5）设有两个命题：不等式的解集为，命题在上为减函数.如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数的取值范围是 . 提示：表示轴上的点到点和的距离之和，易知其最小值为，若命题为真，则；若命题为真，则， 可得. 真假不可能，若假真，则有.例2.写出命题“若都是偶数，则是偶数”的逆命题，否命题，
3、逆否命题，并判断它们的真假. 解:逆命题:若是偶数，则都是偶数，它是假命题; 否命题:若不都是偶数，则不是偶数，它是假命题; 逆否命题:若不是偶数，则不都是偶数，它是真命题.例3. 证明是无理数.证明：假设不是无理数，则是有理数，故它可以用一个分数表示，设（，且互质）， ， 为偶数，设， 则，即，为偶数. 都是偶数与互质矛盾.不是无理数的假设不成立，是无理数.例4.已知方程,求使方程有两个大于的实数根的充要条件。解：令，方程有两个大于的实数根，即所以使方程有两个大于的实数根的充要条件为.【课内练习】1. 有下列四个命题：“若 , 则互为相反数”的逆命题；“全等三角形的面积相等”的否命题； “若
4、 ,则有实根”的逆否命题；“不等边三角形的三个内角相等”逆命题. 其中真命题为 （C）A B C D提示：的逆命题为“若互为相反数，则”为真命题；的否命题为 “不全等三角形的面积不相等相等”为假命题；的逆否命题为“若有实根,则”，为真命题；的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，是假命题.2.已知三个不等式：（其中均为实数）.用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成真命题的个数是 （D） A. B. C. D. 提示：易知由；.3. “”是“”的 （B） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 提示：条件不充分，如；
5、条件必要， .4.已知不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是 （C） A. B.C. D.提示：，时，必有，即， ，由此得.5. 命题“若是奇数，则是偶数”的逆否命题是 ;它是 命题.原命题的逆否命题是“若不是偶数，则不都是奇数”， 它是真命题.提示：原命题是真命题.6. 若和都是假命题，则的范围是_. 提示：和都是假命题，则7.的一个必要不充分条件是 . 提示：这是一道开放题，答案不唯一，只要满足或均可，但不可以是.8.写出命题“若，则方程有实数根”的逆否命题，判断其真假，并加以证明.解：原命题的逆否命题是：“若方程没有实数根，则”.它是真命题.证明：方程没有实数根， ， ，成立.(也可以证明原命题正确)9.已知下列三个方程：至少有一个方程有实数根，求实数的取值范围。解：假设三个方程：都没有实数根，则 ，即 ，得 .10.求“直线经过两直线和的交点”的充要条件，并加以证明.解：所求充要条件为.证明：解方程组得， 两直线的交点为.必要性：设直线经过点，则有，即,必要性的证.充分性：设，将点的坐标代入方程左边得：， 直线经过两直线和的交点，充分性得证.