1、单元质量测试(四)时间：120分钟满分：150分第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1已知an为等差数列，若a22a31，a42a37，则a5()A1 B2 C3 D6答案B解析设数列an的公差为d，由题意，将题中两式相减可得2d6，所以d3，所以a22(a23)1，解得a27，所以a5a2(52)d792，故选B.2在等比数列an中，“a1，a3是方程x23x10的两根”是“a21”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案A解析在等比数列an中，a1a3a.由a1，a3是方程x23x10的两根可得a1a31，所以a
2、1，所以a21，所以“a1，a3是方程x23x10的两根”是“a21”的充分条件；由a21得a1a31，满足此条件的一元二次方程不止一个所以“a1，a3是方程x23x10的两根”是“a21”的充分不必要条件，故选A.3设Sn为等差数列an的前n项和，且2a5a6a3，则S7()A28 B14 C7 D2答案B解析由等差数列的性质知a4a5a6a3，结合2a5a6a3，得a42，所以S77a414，故选B.4我国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：“一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一
3、天的一半，走了6天才到达目的地”，则该人第三天走的路程为()A96里 B48里 C24里 D12里答案B解析根据题意，记该人每天走的路程里数为an，则数列an是以为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即S6378，则有S6378，解得a1192，则a3a1q248.故选B.5已知数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，则Sn()A2n1 BC.n1 Dn1答案D解析因为an1Sn1Sn，所以Sn2an12(Sn1Sn)，所以，所以数列Sn是以S1a11为首项，为公比的等比数列，所以Snn1.故选D.6在等比数列an中，a1an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数
4、n等于()A4 B5 C6 D7答案B解析因为数列an为等比数列，则a1ana2an164，又a1an34，联立，解得a12，an32或a132，an2，当a12，an32时，Sn62，解得q2，所以an22n132，此时n5；同理可得，当a132，an2时，也有n5.则项数n等于5.故选B.7已知等比数列an的前n项的乘积记为Tn，若T2T9512，则T8()A1024 B2048 C4096 D8192答案C解析设等比数列an的公比为q，由T2T9，得a1，故a61，即a1q51.又a1a2aq512，所以q9，故q.所以T8T3a32124096.故选C.8数列an中，a160，an1a
5、n3，则|a1|a2|a30|()A495 B765 C1080 D3105答案B解析由a160，an1an3可得an3n63，则a210，所以|a1|a2|a30|(a1a2a20)(a21a30)S302S20765.故选B.9(2019安徽淮南模拟)已知an中，ann2n，且an是递增数列，则实数的取值范围是()A(2，) B2，)C(3，) D3，)答案C解析an是递增数列，nN*，an1an，(n1)2(n1)n2n，化简得(2n1)，3.故选C.10已知an为等差数列，若，为方程x210x160的两根，则a2a1010a2018的值为()A. B C15 D30答案B解析an为等差
6、数列，为方程x210x160的两根，10，16，16(a1a2019)10，a1a20192a1010，a1010，a2a1010a20183a1010.故选B.11“垛积术”(隙积术)是由北宋科学家沈括在梦溪笔谈中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的.若这堆货物总价是100200n万元，则n的值为()A7 B8 C9 D10答案D解析由题意知，茭草垛自上而下堆放
7、的货物件数构成一个等差数列，其通项ann，货物单价构成一个等比数列，其通项bnn1，所以每一层货物的总价为anbn，这堆货物的总价为Sna1b1a2b2anbn，即Sn11232(n1)n2nn1，所以Sn122(n1)n1nn，两式相减，得Sn12n1nnnn10(10n)n，所以Sn10010(10n)n，于是由10010(10n)n100200n，得10(10n)200，解得n10，故选D.12若正项递增等比数列an满足1(a2a4)(a3a5)0(R)，则a6a7的最小值为()A2 B4 C2 D4答案D解析an是正项递增的等比数列，a10，q1，由1(a2a4)(a3a5)0，得1(
8、a2a4)q(a2a4)0，1q，a6a7a6(1q)(q21)2224(q210)，当且仅当q时取等号，a6a7的最小值为4.故选D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知数列an中，anan1对任意的nN*恒成立，且a312，则a1_.答案3解析由题意，知a2a36，所以a1a23.14设等差数列an的前n项和为Sn，且S1352，则a4a8a9_.答案12解析设等差数列an的公差为d.由S1352，得13a1d52，所以a16d4，所以a4a8a9(a13d)(a17d)(a18d)3(a16d)12.15已知数列an满足a12，2，若bn2
9、，则数列bn的前n项和Sn_.答案解析数列an满足a12，2，则数列是以2为首项，2为公差的等差数列故22(n1)2n，an2n2，由于首项a12符合通项公式，故an2n2，所以bn222n4n，所以Sn.16设数列an的前n项和为Sn，满足：Snan，n1,2，n，则S2019_.答案2019解析由题意，得n1时，S1a10，即a10，n2时，SnSnSn12SnSn1，所以Sn，因为S1，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则Snn1n，所以Snn，故S20192019.三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知数列an，点(
10、n，an)在直线y3x22上(1)求证：数列an是等差数列；(2)设bn|an|，求数列bn的前20项和S20.解(1)证明：an3n22，an1an3(n1)22(3n22)3(nN*)数列an是公差为3的等差数列(2)由(1)知，a119，公差d3，当n7时，an0，S20|a1|a2|a3|a20|a1a2a7a8a202(a1a2a7)a1a2a20220(19)3330.18(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)令bnlog2an，求数列的前n项和Tn.解(1)anSn2，nN*，当n1时，可求得a14.由anS
11、n2，nN*，可得an1Sn12，由得an1anan1，即an12an.数列an为以4为首项，2为公比的等比数列，通项公式为an2n1.(2)bnlog2anlog22n1n1，.Tn.19(2019十堰二模)(本小题满分12分)已知数列an是递增的等差数列，a37，且a4是a1与27的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解(1)设数列an的公差为d，且d0，根据题意，则有即d0，解得d2，数列an的通项公式为ana3(n3)d2n1.(2)由bn()，得数列bn的前n项和Tn()()20(2019湖南联考)(本小题满分12分)设Sn是数列an的前n项和
12、，已知a11，Sn22an1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(1)nlogan，求数列bn的前n项和Tn.解(1)Sn22an1，a11，当n1时，S122a2，得a211.当n2时，Sn122an，当n2时，an2an2an1，即an1an，又a2a1，an是以a11为首项，为公比的等比数列数列an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn(1)n(n1)，Tn0123(1)n(n1)，当n为偶数时，Tn；当n为奇数时，Tn(n1).Tn21(本小题满分12分)已知数列an中，a11，an0，前n项和为Sn，若an(nN*，且n2)(1)求数列an的通项公式；(2)记cnan2an，
13、求数列cn的前n项和Tn.解(1)在数列an中，anSnSn1(n2)，an，且an0，得1(n2)，数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 1(n1)1n，Snn2.当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，当n1时，a11，也满足上式，数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，an2n1，cn(2n1)22n1，则Tn12323525(2n1)22n1，4Tn123325527(2n3)22n1(2n1)22n1，两式相减得，3Tn22(232522n1)(2n1)22n122(2n1)22n122n1，Tn.22(2020浙江诸暨中学模拟)(本小题满分12分)已知数列an，满
14、足a11，a2，an2an1an.(1)证明为等比数列并求an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，是否存在r，tN*(rt)，使得S1，Sr，St成等差数列？若存在，求出r，t；若不存在，请说明理由解(1)因为an2an1an，所以an2an1，又因为a2a11，所以是以首项为1，公比为的等比数列所以an1an，即2nan12n1an2，所以2n1an是首项为1，公差为2的等差数列，所以2n1an2n1，所以an的通项公式为an.(2)因为SnSn所以Sn6，所以S11，Sr6，St6，所以2Sr1261St1，整理，得122t1(4r6)2tr72t1(2t3)因为等式的左边是一个偶数，右边是一个奇数，所以不存在这样的r，t，使得S1，Sr，St成等差数列
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