1、第1讲等差数列、等比数列的基本问题一、填空题1(2015南通模拟)在等差数列an中，a13a3a1510，则a5的值为_解析设数列an的公差为d，a1a152a8，2a83a310，2(a53d)3(a52d)10，5a510，a52.答案22(2015广州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若2S4S5S6，则数列an的公比q的值为_解析经检验q1不适合，则由2S4S5S6，得2(1q4)1q51q6，化简得q2q20，解得q1(舍去)，q2.答案23(2015南师附中调研)设Sn是等差数列an的前n项和，若，则_解析设等差数列an的公差为d，则a12d，所以.答案4(2015南通检测)已知
2、等比数列an为递增数列，且a3a73，a2a82，则_解析根据等比数列的性质建立方程组求解因为数列an是递增等比数列，所以a2a8a3a72，又a3a73，且a3a7，解得a31，a72，所以q42，故q2.答案5在等比数列an中，已知a1a38，a5a74，则a9a11a13a15_解析设等比数列an的公比为q，由已知，得解得q4.又a9a11a1q8a3q8(a1a3)q882，a13a15a1q12a3q12(a1a3)q1281，所以a9a11a13a15213.答案36(2015阳泉模拟)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，则当n_时，an的前n项和最大解析根据题意知a7
3、a8a93a80，即a80.又a8a9a7a100，a90，当n8时，an的前n项和最大答案87(2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_解析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.答案2n18(2015福建卷改编)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_解析由题意知：abp，abq，p0，q0，a0，
4、b0.在a，b，2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，2；b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比数列的情况有：a，2，b；b，2，a.或解之得：或p5，q4，pq9.答案9二、解答题9已知an是等差数列，满足a13，a412，数列bn满足b14，b420，且bnan为等比数列(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d，由题意得d3，所以ana1(n1)d3n(n1，2，)设等比数列bnan的公比为q，由题意得q38，解得q2.所以bnan(b1a1)qn12n1.从而bn3n2n1(n1，2，)(2)由(1)知bn3n2n1(n
5、1，2，)数列3n的前n项和为n(n1)，数列2n1的前n项和为2n1.所以数列bn的前n项和为n(n1)2n1.10(2015洛阳模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b3、b4、b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列是等比数列(1)解设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad.依题意，得adaad15.解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次为7d，10，18d.依题意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3项为5，公比为2.由b3b122，即5b122，解得b1.所以
6、bnb1qn12n152n3，即数列bn的通项公式bn52n3.(2)证明由(1)得数列bn的前n项和Sn52n2，即Sn52n2.所以S1，2.因此是以为首项，2为公比的等比数列11(2015苏、锡、常、镇调研)已知数列an是首项为，公比为的等比数列，设bn15log3ant，常数tN*.(1)求证：bn为等差数列；(2)设数列cn满足cnanbn，是否存在正整数k，使ck，ck1，ck2按某种次序排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，请说明理由(1)证明an3，bn1bn15log35，bn是首项为b1t5，公差为5的等差数列(2)解cn(5nt) 3，则ck(5kt)3，令5ktx(x0)，则ckx3，ck1(x5)3，ck2(x10)3.若cck1ck2，则(x5)3(x10)3.化简得2x215x500，解得x10；进而求得k1，t5；若cckck2，同理可得(x5)2x(x10)，显然无解；若cckck1，同理可得(x10)2x(x5)，方程无整数根综上所述，存在k1，t5适合题意