1、微专题62 点线面位置关系的判定一、基础知识（一）直线与直线位置关系：1、线线平行的判定（1）平行公理：空间中平行于同一直线的两条直线平行（2）线面平行性质：如果一条直线与平面平行，则过这条直线的平面与已知平面的交线和该直线平行（3）面面平行性质：2、线线垂直的判定（1）两条平行直线，如果其中一条与某直线垂直，则另一条直线也与这条直线垂直直线与平面位置关系：（2）线面垂直的性质：如果一条直线与平面垂直，则该直线与平面上的所有直线均垂直（二）直线与平面的位置关系1、线面平行判定定理：（1）若平面外的一条直线与平面上的一条直线平行，则（2）若两个平面平行，则一个平面上的任一直线与另一平面平行2、线
2、面垂直的判定：（1）若直线与平面上的两条相交直线垂直，则（2）两条平行线中若其中一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直（3）如果两个平面垂直，则一个平面上垂直于交线的直线与另一平面垂直（三）平面与平面的位置关系1、平面与平面平行的判定：（1）如果一个平面上的两条相交直线均与另一个平面平行，则两个平面平行（2）平行于同一个平面的两个平面平行2、平面与平面垂直的判定如果一条直线与一个平面垂直，则过这条直线的所有平面均与这个平面垂直（四）利用空间向量判断线面位置关系1、刻画直线，平面位置的向量：直线：方向向量 平面：法向量2、向量关系与线面关系的转化：设直线对应的法向量为，平面对应的法向量为（其
3、中在外）（1）（2）（3）（4）（5）（6）3、有关向量关系的结论（1）若，则 平行+平行平行（2）若，则 平行+垂直垂直（3）若，则的位置关系不定。4、如何用向量判断位置关系命题真假（1）条件中的线面关系翻译成向量关系（2）确定由条件能否得到结论（3）将结论翻译成线面关系，即可判断命题的真假二、典型例题：例1：已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，现给出下列命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D3思路：为面面平行的判定，要求一个平面上两条相交直线，而中不一定相交。所以无法判定面面平行；为面面垂直的性质，要求一个平面上垂直交线的直线，才与另一平面垂
4、直。而中不一定与交线垂直。所以不成立；可用向量判定，设对应法向量为，直线方向向量为，则条件转换为：，可推得，即，正确；为线面平行判定，要求在外，所以错误；综上只有1个命题正确答案：B例2：已知是不同的直线，是不同的平面，以下命题正确的是（ ）若，则；若，则；若，则；若，则； A B C D思路：题目中涉及平行垂直较多，所以考虑利用正方体（举反例）或向量判断各个命题 两平面各选一条直线，两直线平行不能判断出两个平面平行，例如在正方体中在平面和平面中，虽然，但两个平面不平行，所以错误 例如：平面平面，但与不垂直，所以错误 考虑利用向量帮助解决：，所以可以推断，所以可得 考虑利用向量解决：，由垂直关
5、系不能推出，所以错误答案：D例3：对于直线和平面，的一个充分条件为（ ）A. B. C. D. 思路：求的充分条件，即从A,B,C,D中选出能判定的条件，A选项：例如正方体中的平面和平面可知虽然平面，平面，但这两个平面不平行。B选项：也可利用A选项的例子说明无法推出，C选项可用向量模型进行分析：，所以可得：，即；D选项可利用A选项的例子：，可知平面，平面，但这两个平面不平行，综上所述，只有C为的一个充分条件答案：C例4：给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若
6、两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是（ ）A和 B和 C和 D和思路：分别判断四个命题： 必须是一个平面内两条“相交”直线与另一个平面平行，才可判定两平面平行，所以错误； 该命题为面面垂直的判定，正确； 空间中垂直同一条直线的两条直线不一定平行，例如正方体中交于一点的三条棱； 可用反证法确定，假设该直线与另一平面垂直，则必然垂直该平面上所有的直线，包括两平面的交线。所以与条件矛盾。假设不成立。综上所述，正确的命题是和答案：D例5：已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则思路：A选项若直线与平
7、面垂直，则直线与这个平面上的所有直线均垂直，所以A正确B选项可用向量判断，由，无法判断出的关系，所以不能推出；C选项并没有说明直线是否在平面上，所以结论不正确；D选项也可用向量判断，同理由无法判断的情况，所以无法推断出，综上所述：A正确答案：A例6：给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ） 直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行。夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面； 直线平面，直线，则；是异面直线，则存在唯一的平面，使它与都平行且与距离相等A. B. C. D. 答案：D思路： 到平面距离相等的点可能位于平面的同侧或是异侧，如果是同侧，则两点所在直线与平面平行
8、，如果异侧，则直线与平面相交，且交点为这两点的中点。正确，证明如下：如图，平面，且分别为的中点，过作交于，连接，设是的中点 平面 命题中没有说明直线是否在上，所以不正确；正确，设为异面直线的公垂线段，为中点，过作的平行线，从而由确定的平面与平行且与的距离相等。所以该平面即为所求。答案：D例7：下列命题正确的个数是（ ） 若直线上有无数个点不在平面内，则 若直线，则与平面内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 若直线，则与平面内的任意一条直线都没有公共点A. 0 B. 1 C. 2 D. 3思路： “无数个点”只是强调数量多，并不等同于“任意点
9、”，即使直线与平面相交，直线上也有无数个点不在平面内。所以不正确； 若，说明与没有公共点，所以与上任意一条直线都没有公共点，但即使无公共点，的位置关系不只是有平行，还有可能异面，所以不正确； 线面平行的前提是直线在平面外，而命题中没有说明“另一条”直线是否在平面上，所以不正确；命题可由得知，与上任意一条直线都没有公共点，命题正确，综上所述，正确的有1个答案：B例8：直线为两异面直线，下列结论正确的是（ ）A. 过不在上的任何一点，可作一个平面与都平行B. 过不在上的任何一点，可作一个直线与都相交C. 过不在上的任何一点，可作一个直线与都平行D. 过有且只有一个平面与平行思路：A选项中，如果点与
10、确定的平面与平行，则此平面只和平行，在此平面上，所以这样的是无法作出符合条件的平面；B选项由A所构造出的平面可得，若过的直线与相交，则也在该平面上，所以与无公共点；若过的直线与相交，则无法与相交，综上所述对于这样的点无法作出符合条件的直线；C选项如果过的直线与均平行，则由平行公理可知，与已知条件矛盾，所以C错误；D选项，如果异面，则过只能做出一个平面与平行。在上取两点分别作的平行线，则所唯一确定的平面和平行，且在此平面上。所以D正确答案：D例9：设是两条异面直线，是空间任意一点，则下列命题正确的是（ ）A. 过点必存在平面与两异面直线都垂直B. 过点必存在平面与两异面直线都平行C. 过点必存在
11、直线与两异面直线都垂直D. 过点必存在直线与两异面直线都平行思路：A选项，若平面与均垂直，则推得，与异面矛盾；B选项如果点位于某条直线上，则平面无法与该直线平行；C选项中直线的垂直包括异面垂直，所以可以讲平移至共面，过的直线只需与这个平面线面垂直，即和都垂直，所以C正确；D选项如果直线与均平行，则由平行公理可得，与异面矛盾。所以C正确答案：C例10：设是不同的直线，是不重合的平面，则下列命题不正确的是（ ）A. 若，在外，则 B. 若，则 C. 若，则D. 若，且，则思路：A选项可通过向量来判断：，由此可得：，因为在外，所以可判定，A正确；B选项设，则上所有点的投影落在中，上所有点的投影落在中
12、，因为，所以上所有点的投影均在的交点上，即，所以B正确；C选项符合面面平行的性质，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则交线平行，所以C正确；D选项中若A,C位于同侧，则命题成立；但如果位于两侧，则满足条件的与相交。故不正确答案：D三、历年好题精选1、（2016，山东胶州高三期末）设为不同的平面，为不同的直线，则的一个充分条件为（ ）A. B. C. D. 2、给出下面四个命题：“直线直线”的充要条件是“平行于所在的平面”；“直线平面内所有直线”的充要条件是“平面”；“直线，为异面直线”的充分不必要条件是“直线，不相交”；“平面平面”的必要不充分条件是“内存在不共线三点到的距离相等”其
13、中正确命题的序号是()A B C D3、（2016，大连二十中期中考试）已知三个互不重合的平面，且，给出下列命题（ ） 若，则 若，则 若，则 若，则其中正确命题的个数为（ ）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4、（江西中南五校联考）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若 B. 若C. 若 D. 若5、（2016，宁波高三期末）已知平面与平面交于直线,且直线,直线,则下列命题错误的是 （ ）A若，且与不垂直，则 B若，则C若，且与不平行，则 D若，则6、（2016，上海闸北12月月考）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出下列四个命题： 若垂直
14、于同一平面，则与平行 若平行于同一平面，则与平行 若不平行，则在内不存在与平行的直线 若不平行，则与不可能垂直于同一平面其中真命题的个数为（ ）A4 B3 C2 D17、设为两条直线，为两个平面，则下列四个命题中，正确的命题是（ ）A. 若，则 B. ，则C. 若，则 D. 若，则8、（2015，广东文）若直线是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（ ）A. 至少与中的一条相交 B. 与都相交C. 至多与中的一条相交 D. 与都不相交9、（2014，辽宁）已知表示两条不同的直线，表示平面，下列说法正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则
15、习题答案：1、答案：D解析：A选项若不在上，则无法判定；B选项：若，则，所以无法判定；C选项，如果来两两垂直，则无法判定；D选项，如果，则，再由可判定2、答案：D解析： 若平行于所在的平面，则的关系为平行或异面，所以不是充要条件； 由线面垂直定义可知：直线平面当且仅当直线平面内所有直线，所以正确； 中若直线不相交，则可能平行。所以不能得到“直线，为异面直线”，错误； 若平面平面，则内所有点到的距离相等，当内存在不共线三点到的距离相等，则两平面可能相交，这三点位于的两侧。所以“内存在不共线三点到的距离相等”是“平面平面”的必要不充分条件3、答案：C解析：当三个平面两两相交，交线平行或交于一点，所
16、以若，则三条交线交于一点，即，若，则三条交线平行，所以正确；当三条交线交于一点时，则夹角不确定，所以错误；若，因为均在上，所以可知，综上所述，正确4、答案：C解析：A选项：垂直同一平面的两个平面可以平行，也可以相交，所以A错误B选项：在正方体中，右侧面的棱与底面上的棱平行，但是这两个面不平行，所以B错误C选项：将条件转化为向量：，可推出，即，C正确D选项：若直线上，也满足题目条件，但不平行5、答案：D解析：A选项：可知在上的投影为，若与不垂直，且与不垂直，则由三垂线定理可推得不垂直，与已知矛盾，所以A正确B选项：由，可得，所以C选项：由不平行可知，因为，由面面垂直判定定理可得D选项：两个平面上
17、的直线与交线垂直并不能判定两个平面垂直，故D错误6、答案：D解析： 正方形的三个侧面两两垂直，所以垂直于同一平面的两平面不一定平行，错误正方形上底面的直线均与下底面平行，但这些直线不一定平行，错误正方形的下底面与侧面不平行，但是底面平行于交线的直线与侧面平行，错误 考虑其逆否命题为“若与垂直同一平面，则平行”为真命题，所以原命题为真命题，正确综上所述，正确的只有7、答案：A解析：利用空间向量判断，对应的方向向量记为，对应的法向量记为 A：条件转化为，所以A正确B: 条件转化为，无法得到C: ，只能得到，无法推出D: 条件转化为：，无法推出所以只有A正确8、答案：A解析：至少与中的一条相交，考虑反证法，若与都不相交，因为与分别共面，所以，则平行，与已知矛盾。所以原命题成立9、答案：B解析：A选项，平行于同一个平面的两条直线可以有各种位置关系，A错误B选项，符合线面垂直的定义，即若直线与平面垂直，则与该平面上任意一条直线均垂直，所以B正确C选项，直线可以在平面上，所以不正确D选项，正方形上底面的相互垂直的两条棱均与底面平行，所以不正确综上所述：B正确