1、2021年四川省泸州市泸县五中高三高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|ylog2（x2），Bx|x29，则A（RB）（）A2，3）B（2，3）C（3，+）D（2，+）2已知命题p：x0，ex1或sinx1，则p为（）Ax0，ex1且sinx1Bx0，ex1或sinx1Cx0，ex1或sinx1Dx0，ex1且sinx13已知是第二象限角，则cos（+）（）ABCD4我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S若a2sinC24sinA，a（sinCsin
2、B）（c+b）（27a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S（）ABCD5函数f（x）的图象大致为（）ABCD6角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sin，则tan（）ABCD7已知函数f（x）3x（）x，则f（x）（）A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数8某品牌牛奶的保质期y（单位：天）与储存温度x（单位：）满足函数关系yakx+b（a0，a1），该品牌牛奶在0的保质期为270天，在8的保质期为180天，则该品牌牛奶在24的保质期是（）A60天B70天C80天D90天9若0ab1，x
3、ab，yba，zbb，则x、y、z的大小关系为（）AxzyByxzCyzxDzyx10已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）AB2C4D1211将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y2sinx（4x6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A12B4C6D812若对于任意的0x1x2a，都有，则a的最大值为（）A2eBeC1D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f（x）ln（+x）是奇函数，则a 14曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a 15如图，
4、一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD m16已知函数f（x）2x2x，若不等式f（x2ax+a）+f（3）0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17已知向量（，1），（cosx，sinx），f（x）（）sinx（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若b4，ABC的周长为12，且f（
5、B），求ABC的面积18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsinC（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC19已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x1，5，不等式恒成立，求实数u的最大值20如图，在多面体ABCDEF中，侧面ADEF是平行四边形，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C（）求证：BC平面ACE；（）若CDCE，求四面体ABEF的体积21已知函数f（x）x2+2alnx，g（x）2x21，其中aR（1）当a1时，
6、求f（x）的单调区间；（2）若方程f（x）g（x）在1，e（e为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|2x+1|（）求不等式f（x）3的解集；（）已知a2+（b1）2+（c+1）26，证明：82ab+c4参
7、考答案一、选择题（共12小题）.1已知集合Ax|ylog2（x2），Bx|x29，则A（RB）（）A2，3）B（2，3）C（3，+）D（2，+）【分析】根据条件求出集合A，B的等价条件，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可解：Ax|ylog2（x2）x|x20x|x2，Bx|x29x|x3或x3，RBx|3x3，则A（RB）x|2x3（2，3）故选：B2已知命题p：x0，ex1或sinx1，则p为（）Ax0，ex1且sinx1Bx0，ex1或sinx1Cx0，ex1或sinx1Dx0，ex1且sinx1【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论解：命题为全称命题，则命题p：x0，ex1或s
8、inx1，则p为：x0，ex1且sinx1，故选：D3已知是第二象限角，则cos（+）（）ABCD【分析】由已知利用诱导公式可得sin，利用同角三角函数基本关系式可求cos的值，进而根据诱导公式化简所求即可得解解：因为是第二象限角，可得sin，所以cos，则cos（+）cos故选：D4我国南宋著名数学家秦九韶发现了三角形三边求三角形面积的“三斜求积公式”，设ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积公式”为S若a2sinC24sinA，a（sinCsinB）（c+b）（27a2）sinA，则用“三斜求积公式”求得的S（）ABCD【分析】根据正弦定理：由a2sinC
9、4sinA得ac24，则由a（sinCsinB）（c+b）（27a2）sinA得a2+c2b227，利用公式可得结论解：根据正弦定理：由a2sinC24sinA得ac24，则a（sinCsinB）（c+b）（27a2）sinA可得a（cb）（c+b）（27a2）a，则c2b227a2，即c2+a2b227，S，故选：D5函数f（x）的图象大致为（）ABCD【分析】先判断函数奇函数，再求出f（1）即可判断解：f（x）f（x），则函数f（x）为奇函数，故排除AD，当x1时，f（1）1+cos10，故排除B，故选：C6角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sin，则tan
10、（）ABCD【分析】根据任意角的三角函数的定义可求y的值，进而根据任意角的三角函数的定义可求tan的值解：角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边经过点P（4，y），且sin，sin，整理可得：y3，tan故选：C7已知函数f（x）3x（）x，则f（x）（）A是奇函数，且在R上是增函数B是偶函数，且在R上是增函数C是奇函数，且在R上是减函数D是偶函数，且在R上是减函数【分析】由已知得f（x）f（x），即函数f（x）为奇函数，由函数y3x为增函数，y（）x为减函数，结合“增”“减”“增”可得答案解：f（x）3x（）x3x3x，f（x）3x3xf（x），即函数f（x）为奇函数，又由函数y3x为
11、增函数，y（）x为减函数，故函数f（x）3x（）x为增函数，故选：A8某品牌牛奶的保质期y（单位：天）与储存温度x（单位：）满足函数关系yakx+b（a0，a1），该品牌牛奶在0的保质期为270天，在8的保质期为180天，则该品牌牛奶在24的保质期是（）A60天B70天C80天D90天【分析】由该食品在0的保鲜时间是270天，在8的保鲜时间是180天，列出方程组，求出a8k，然后由此能出该食品在24的保鲜时间解：某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系yakx+b（a0，a1），该品牌牛奶在0的保质期为270天，在8的保质期为180天，解得a8k，ab270，该品牌牛
12、奶在24的保质期：ya24k+b（a8k）3ab（）327080（天）故选：C9若0ab1，xab，yba，zbb，则x、y、z的大小关系为（）AxzyByxzCyzxDzyx【分析】根据指数函数与幂函数的单调性即可求解解：因为0ab1，故f（x）bx单调递减；故：ybazbb，g（x）xb单调递增；故xabzbb，则x、y、z的大小关系为：xzy；故选：A10已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）AB2C4D12【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的
13、球心为O，R，故选：D11将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则函数f（x）的图象与函数y2sinx（4x6）图象所有交点的横坐标之和等于（）A12B4C6D8【分析】由题意和图象平移法则化简解析式，求出函数y2sinx的周期、对称中心，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，由图象判断出交点的个数，根据对称性求出答案解：由题意得1，函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数f（x），则f（x），函数f（x）的图象关于点（1，0）对称，且函数y2sinx的周期是2，且点（1，0）也是的对称点，在同一个坐标系中，画出两个函数的图象：由图象可知，两个函数在4，
14、6上共有12个交点，两两关于点（1，0）对称，设其中对称的两个点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2212，12个交点的横坐标之和为6212故选：A12若对于任意的0x1x2a，都有，则a的最大值为（）A2eBeC1D【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性即可求得最终结果解：，据此可得函数f（x）在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：f（x）0在（0，a）上恒成立，据此可得：0x1，即实数a的最大值为1故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数f（x）ln（+x）是奇函数，则a1【分析】根据题意，求出f（x）的表达式，由奇函数的定义可得f
15、（x）+f（x）0，变形计算可得a的值，验证即可得答案解：根据题意，函数f（x）ln（+x），则f（x）ln（x），若f（x）为奇函数，则有f（x）+f（x）ln（+x）（x）lna0，解可得：a1，故答案为：114曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a3【分析】求出函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可解：曲线y（ax+1）ex，可得yaex+（ax+1）ex，曲线y（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+12，解得a3故答案为：315如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600m后到达
16、B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD100m【分析】设此山高h（m），在BCD中，利用仰角的正切表示出BC，进而在ABC中利用正弦定理求得h解：设此山高h（m），则BCh，在ABC中，BAC30，CBA105，BCA45，AB600根据正弦定理得，解得h100（m）故答案为：10016已知函数f（x）2x2x，若不等式f（x2ax+a）+f（3）0对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（2，6）【分析】由函数解析式可得函数f（x）为定义域上的增函数且为奇函数，把不等式f（x2ax+a）+f（3）0对任意实数x恒成立转化为x2ax+a+30恒成立，由判别式小于0求
17、得实数a的取值范围解：f（x）2x2x，y2x与y均为实数集上的增函数，函数f（x）为实数集上的增函数，又f（x）2x2xf（x），f（x）为实数集上的奇函数，由不等式f（x2ax+a）+f（3）0对任意实数x恒成立，得f（x2ax+a）f（3）f（3）对任意实数x恒成立，则x2ax+a3恒成立，即x2ax+a+30恒成立，则（a）24（a+3）a24a120，解得2a6故答案为：（2，6）三解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17已知向量（，1），（cosx，s
18、inx），f（x）（）sinx（1）求f（x）的最小正周期和最大值；（2）若b4，ABC的周长为12，且f（B），求ABC的面积【分析】（1）由已知利用平面向量的坐标运算，三角函数恒等变换可求函数解析式f（x）sin（2x）+，进而利用正弦函数的性质即可求解（2）由（1）及f（B），可得Bk+，kZ，进而可求B的值，a+c8，由余弦定理可解得ac的值，进而根据三角形的面积公式即可求解解：（1）因为向量（，1），（cosx，sinx），所以f（x）（）sinxsinxcosx+sin2xsin2x+sin（2x）+，故f（x）的最小正周期为T，当2x2k+，kZ时，f（x）的最大值为（2）由f（
19、B），可得2B2k+，kZ，可得Bk+，kZ，由B（0，），可得B，因为b4，ABC的周长为12，所以a+c8，由余弦定理可得a2+c2ac16，即（a+c）23ac16，所以ac16，故SABCacsinB418ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c设（sinBsinC）2sin2AsinBsinC（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2a2bc，再由余弦定理能求出A（2）由已知及正弦定理可得：sin（C），可解得C的值，由两角和的正弦函数公式即可得解解：（1）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c（sinBsinC）2sin2AsinBs
20、in Csin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC，由正弦定理得：b2+c2a2bc，cosA，0A，A（2）a+b2c，A，由正弦定理得，解得sin（C），C，C，sinCsin（）sincos+cossin+19已知函数（a为实常数）（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当f（x）为奇函数时，对任意的x1，5，不等式恒成立，求实数u的最大值【分析】（1）讨论当a2时，当a2时，计算f（x）和f（x）的关系，即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）求得f（x）2，由题意可得u23x，运用换元法和指数函数的单调性，以及对勾函数的单调性，求得此不等式右边函数的最小
21、值，可得所求u的最大值解：（1）当a2时，f（1）a1，f（1）a3，故f（1）f（1），且f（1）f（1），于是f（x）既不是奇函数，也不是偶函数；当a2时，f（x）+f（x）2a2a40，即f（x）f（x），故此时f（x）为奇函数；（2）由f（x）为奇函数，由（1）可得a2，则f（x）2，由不等式f（x），可得u23x，可令3x+1t，t4，244，（因为x1，5），故u2（t1）2（t+）6，由于函数（t）2（t+）6的导数（t）2（1）0，可得（t）在4，244递增，所以（t）min（4）3，因此不等式在x1，5上恒成立时，u的最大值为320如图，在多面体ABCDEF中，侧面ADEF是
22、平行四边形，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C（）求证：BC平面ACE；（）若CDCE，求四面体ABEF的体积【分析】（I）利用勾股定理证明ACBC，结合CEBC即可得出BC平面ACE；（II）证明CE平面ABF，计算C到平面ABE的距离和ABF的面积，代入棱锥的体积公式计算即可【解答】（）证明：在平面ABCD内，作CMAB，垂足为M，底面ABCD是等腰梯形，ABCD，AB4，BCCD2，BM（ABCD）1，CM，AM3，AC2，AC2+BC2AB2，ACBC，顶点E在底面ABCD内的射影恰为点C，EC平面ABCD，BCCE，又ACCEC
23、，BC平面ACE（）解：在AB上取点N，使得ANCD，连接CN，EN，ANCD，ANCD，四边形ANCD是平行四边形，ADCN，ADCN，又四边形ADEF是平行四边形，ADEF，ADEF，CNEF，CNEF四边形CEFN是平行四边形，CEFN，CEFN2又CE平面ABCD，FN平面ABCD，FNAB，FNCM，SABF4，CMAB，CMFN，FNABN，CM平面ABF，CEFN，FN平面ABF，CE平面ABF，CE平面ABF，E到平面ABF的距离等于C到平面ABF的距离CM，四面体ABEF的体积为VEABF21已知函数f（x）x2+2alnx，g（x）2x21，其中aR（1）当a1时，求f（x
24、）的单调区间；（2）若方程f（x）g（x）在1，e（e为自然对数的底数）上存在唯一实数解，求实数a的取值范围【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）令F（x）x22alnx1，由题意得只需函数yF（x）在1，e上有唯一的零点，求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，确定a的范围即可解：（1）当a1时，f（x）x22lnx（x0），则f（x）2x，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）递增，故f（x）在（0，1）递减，在（1，+）递增；（2）f（x）g（x），x2+2alnx2x21，
25、即x22alnx10，令F（x）x22alnx1，由题意得只需函数yF（x）在1，e上有唯一的零点，又F（x）2x，其中x1，e，当a1时，F（x）0恒成立，F（x）递增，又F（1）0，则函数F（x）在区间1，e上有唯一零点，当ae2时，F（x）0恒成立，F（x）递减，又F（1）0，则函数F（x）在区间1，e上有唯一零点，当1ae2时，当1x时，F（x）0，F（x）递减，又F（1）0，故F（）F（1）0，则函数F（x）在区间1，上有唯一零点，当xe时，F（x）0，F（x）递增，则当F（e）0时，F（x）在，e上没有零点，符合题意，即a0，解得：a，故当ae2时，F（x）在（，e上没有零点，此时
26、函数F（x）在区间1，e上有唯一零点，故实数a是取值范围是（，1，+）（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为，（为参数），直线C2的方程为，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线C1和直线C2的极坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+解：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），直角坐标方程为（x2）2+（y2）21，即x2+y24x4y+70
27、，极坐标方程为24cos4sin+70直线C2的方程为y，极坐标方程为tan；（2）直线C2与曲线C1联立，可得2（2+2）+70，设A，B两点对应的极径分别为1，2，则1+22+2，127，+选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x2|+|2x+1|（）求不等式f（x）3的解集；（）已知a2+（b1）2+（c+1）26，证明：82ab+c4【分析】（）由零点分区间法，以及绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（）可由柯西不等式和不等式的解法，即可得证解：（）f（x）3即为|x2|+|2x+1|3，等价为或或，解得x2或0x2或x，综上可得，原不等式的解集为（，0，+）；（）证明：由柯西不等式可得a2+（b1）2+（c+1）222+（1）2+122a（b1）+c+12，当1bc+1时，上式取得等号又a2+（b1）2+（c+1）26，则（2ab+c+2）236，即62ab+c+26，即为82ab+c4
